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Quadratic properties

graphs of quadratic functions and their properties:

positive or negative coefficient of $x^{2}$
maximum and minimum points
symmetry

Practice questions

1The equation of a curve is $y = x^2 e^{2x}$ . Obtain an expression for $\dfrac{dy}{dx}$ . Find the range of values of $x$ …
2对于函数 $f(x)=x^{2}+2x$ ，在使 $f(x)\geqslant M$ 成立的所有实数 $M$ 中，我们把 $M$ 的最大值 $M_{max}=-1$ 叫做函数 $f(x)=x^{2}+2x$ 的下确界，则对于 $a∈R$ ，…
3已知：抛物线 $y=-x^{2}+bx+c$ 经过 $B(3,0)$ 、 $C(0,3)$ 两点，顶点为 $A.$ 求：(1)抛物线的表达式； (2)顶点 $A$ 的坐标．
4若函数 $f(x)=x^{2}+2(a-1)x+2$ 在区间 $(-∞,4]$ 内递减，那么实数 $a$ 的取值范围为 $(\quad)$ A. $a\leqslant-3$ B. $a\geqslant-3$ C. $a\leqslant 5$ …
5若二次函数 $y=x^{2}-4x+3$ 的图象经过 $A(-2,y_{1})$ ， $B(1,y_{2})$ ， $C(4,y_{3})$ 三点，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是 $(\quad)$ …
6若二次函数的图象开口向下，且经过 $(2,-3)$ 点.符合条件的一个二次函数的解析式为 ___ ．
7已知函数 $f(x)=x^{2}-ax(a\neq 0)$ ， $g(x)=\ln x$ ， $f(x)$ 图象与 $x$ 轴异于原点的交点 $M$ 处的切线为 $l_{1}$ ， $g(x-1)$ 与 $x$ 轴的交点 $N$ 处的切线为…
8抛物线 $y=ax^{2}+bx+c(a,b,c$ 为常数 $)$ 的对称轴为 $x=-2$ ，过点 $(1,-2)$ 和点 $(x_{0},y_{0})$ ，且 $c>0.$ 有下列结论：① $a< 0$ ；②对任意实数 $m$ 都有： $am^{2}+bm\geqslant 4a-2b$ …
9对于二次函数 $y=-(x+2)^{2}+3$ 的图象，下列说法正确的是 $(\quad)$ A. 开口向上 B. 当 $x=2$ 时， $y$ 有最小值是 $3$ C. 对称轴是 $x=2$ D. 顶点坐标是 $(-2,3)$
10函数 $y=-4x^{2}$ 先向右平移 $2$ 个单位，再向下平移 $2$ 个单位，所得函数解析式是 $(\quad)$ A. $y=-4(x-2)^{2}+2$ B. $y=-4(x+2)^{2}+2$ C. $y=-4(x-2)^{2}-2$ …
11Sketch the graph of $y = 16 - (x + 3)^2$ on the axes below, indicating clearly the coordinates of the intercepts and the…
12如果抛物线 $y=(k-4)x^{2}+k$ 的图都在 $x$ 轴上方，那么 $k$ 的取值范围是 ___.
13在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，直线 $y=kx+k(k > 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，过点 $A$ 的抛物线 $y=x^{2}+bx+c$ 与 $x$ 轴交于另一点 $P(1)$ …
14在平面直角坐标系中，如果点 $P$ 的横坐标与纵坐标相等，则称点 $P$ 为和谐点，例如：点 $P(1,1)$ 、 $(-2,-2)$ 、 $(0.5,0.5)$ …，都是和谐点，若二次函数 $y=ax^{2}+7x+c(a≠0)$ 的图象…
15Express $-x^2+4x+12$ in the form $-(x+p)(x-q)$ . Answer ... Sketch the graph of $y=-x^2+4x+12$ on the axes below. Indicat…
16Solve the equation $\displaystyle \frac{3-2x}{7} = \frac{1}{3}(2x-1).$ Answer x = ... Simplify $\displaystyle \frac{25a^{2}-9b^{2}}{15a-10ab+6b^{2}-9b}$ …
17已知抛物线 $y=ax^{2}+2ax+m(a>0)$ 经过点 $(-4,y_{1})$ 、 $(-2,y_{2})$ ， $(1,y_{3})$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是 ___ .
18某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是 $20$ 元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量 $y($ 个 $)$ 与销售单价 $x($ 元 $)$ 之间是一次函数关系，当销售单价为 $28$ 元时，每天的销售量为 $260$ 个；当销售单价…
19已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x=3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（） A. 5 B. 8 C. 10 D. 11
20Part of the graph of a quadratic function is shown below. The graph passes through the point A (1, 15) and it cuts the x…
21By expressing $x^2-10x-2$ in the form $(x-h)^2+k$ , where $h$ and $k$ are constants, write down the coordinates of the mi…
22Sketch the graph of $y=-(x-2)^2+4$ on the axes below. Indicate clearly the coordinates of the points where the graph cro…
23Complete the table of values for $y = x^2 + 2x - 1$ On the grid opposite, draw the graph of $y = x^2 + 2x - 1$ for $-4 \le x \le 2$ …
24对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，有下列命题： ①若f(p)＝q，f(q)＝p(p≠q)，则f(p＋q)＝－(p＋q)； ②若f(p)＝f(q)(p≠q)，则f(p＋q)＝c； ③若f(p＋q)＝c(p≠q)，则p＋q＝0或f(p)＝…
25用配方法将函数 $y= \dfrac {1}{2}x^{2}-2x+1$ 写成 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的形式是 $()$ A. $y= \dfrac {1}{2}(x-2)^{2}-1$ B. $y= \dfrac {1}{2}(x-1)^{2}-1$ …
26Express $x^2-6x-2$ in the form $(x-a)^2 + b$ where $a$ and $b$ are constants. Answer ___ Hence, state the minimum value…
27新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为 $250$ 万元，每生产 $x$ 千件需另投入成本为 $C\left({x}\right).$ 当年产量不足 $80$ 千件时， $C\left({x}\right)=\dfrac{1}{3}x^{2}+10x($ …
28抛物线 $y=x^{2}-6x+5$ 的顶点坐标为___.
29函数 $y=(x-2)(3-x)$ 取得最大值时， $x=$ ___ ．
30Old MacDonald has a farm with a rock wall around it. The figure shows a portion of his farm where he plans to build two…
31已知函数 $f(x)=2x^{2}-4x+a$ ，函数 $g(x)=\log_{a}x(a>0,$ 且 $a≠1).(1)$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,2m]$ 上不具有单调性，求实数 $m$ 的取值范围； (2)若 $f(1)=g(1).\:$ …
32已知 $a > 0$ ，函数 $f(x)=x{\,\!}^{2}+a\ln x- ax$ 在 $(0,+∞)$ 上是增函数，则 $a$ 的范围为__
33抛物线 $y=x^{2}+x-2$ 与 $y$ 轴的交点坐标是 $(\quad)$ A. $(0,2)$ B. $(-2,0)$ C. $(-2,0)$ 、 $(1,0)$ D. $(0,-2)$
34若函数 $f(x)=x ^{2} +2(a-1)x+2$ 在区间 $(-1 , +∞)$ 为增函数，则 $a$ 的取值范围为 $(\:\:\:\:)$ A. $(-∞ , -2]$ B. $(-∞ , -2)$ C. $(2 , +∞)$ …
35对于函数 $y=-3(x-5)^{2}$ 的图象，下列说法不正确的是 $(\quad)$ A. 开口向下 B. $x>5$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大 C. 最大值为 $0$ D. 与 $y$ 轴交点在 $x$ 轴下方
36在数列 $\left\{{a}_{n}\right\}$ 中， $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}-a_{n}=7-2n$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 中最大项的数值为___.
37将抛物线 $y=x^{2}$ 向左平移 $3$ 个单位，再向下平移 $4$ 个单位，平移后所得新抛物线的表达式为 $(\quad)$ A. $y=(x-3)^{2}+4$ B. $y=(x+3)^{2}+4$ C. $y=(x-3)^{2}-4$ …
38已知 $a\text{ < }0,$ 函数 $f\left(x\right)=a\cos x+\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}$ ，其中 $x{\in}\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].(1)$ …
39The diagram below shows the sketch of the graph y = -x^2 + p x + q. The graph cuts the x-axis at points A and B(3, 0). T…
40抛物线 $y= \dfrac {1}{2}(x-2)^{2}+3$ 的对称轴是直线 $()$ A. $x=-2$ B. $x=2$ C. $x=3$ D. $x=-3$
41Express $x^2-4x+8$ in the form $(x+p)^2+q$ . Answer ... Hence explain why there is no solution for $x^2-4x+8=0$ . Answer .…
42已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{{x}^{2}}\text{+}2ax,(x\leqslant 1)\\ (2a-1)x-3a+6,(x>1)\\\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ …
43已知 $\triangle ABC$ 的三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 和面积 $S$ 满足 $S=a^{2}-(b-c)^{2}$ ，且 $b+c=8$ ． (1)求 $\cos A$ ； (2)求 $S$ 的最大值．
44Express $x^{2} - 6x + 18$ in the form $(x - p)^{2} + q$ . Hence, sketch the graph of $y = x^{2} - 6x + 18$ on the axes be…
45已知抛物线 $y=(x-1)^{2}+k$ 上有三点 $(0,y_{1})$ 、 $(1,y_{2})$ 、 $( \sqrt {5},y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是 $()$ …
46关于 $x$ 的二次函数 $y=x^{2}+(3-a)x-1$ 在 $x< -1$ 的范围内 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $a$ 满足的条件是 $(\quad)$ A. $a< 1$ B. $a\leqslant 1$ …
47已知 $y=2x^{2}$ 的图象是抛物线，若抛物线不动，把 $x$ 轴、 $y$ 轴分别向上、向右平移 $2$ 个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 $()$ A. $y=2(x-2)^{2}+2$ B. $y=2(x+2)^{2}-2$ …
48已知函数 $f(x)=a \ln (x+1)-x^{2}$ 在区间 $(0,1)$ 内任取两个实数 $p$ ， $q$ ，且 $p\neq q$ ，不等式 $\dfrac{f\left( p+1 \right)-f\left( q+1 \right)}{p-q} > 1$ …
49如果点 $A(2,m)$ 在抛物线 $y=x^{2}$ 上，将抛物线向右平移 $3$ 个单位后，点 $A$ 同时平移到点 $A′$ ，那么 $A′$ 坐标为 $()$ A. $(2,1)$ B. $(2,7)$ C. $(5,4)$ …
50抛物线 $y=(x-1)^{2}+2$ 与 $y$ 轴交点坐标为 $()$ A. $(0,1)$ B. $(0,2)$ C. $(1,2)$ D. $(0,3)$
51已知 $y= \sqrt {x-1}+ \sqrt {5-x}(x,y$ 均为实数 $)$ ，则 $y$ 的最大值与最小值的差为 $()$ A. $2 \sqrt {2}-2$ B. $4-2 \sqrt {2}$ C. $3-2 \sqrt {2}$ …
52已知向量 $\overrightarrow {a}=(-2,1)$ ， $\overrightarrow {b}=(1,t)$ ，则下列说法不正确的是 $(\quad)$ A. 若 $\overrightarrow {a}/\!/\overrightarrow {b}$ …
53将抛物线 $y=-5x^{2}$ 向右平移 $a$ 个单位长度，再向上平移 $b$ 个单位长度，所得到的抛物线为 $y=-5(x-1)^{2}+2$ ，则点 $(a,b)$ 关于平面直角坐标系中的原点对称点是 $(\quad)$ A. $(1,2)\:\:\:\:\:\:\:$ …
54函数 $f(x)={3}^{-{x}^{2}+2ax}$ 在区间 $(-∞,1)$ 内递增，则 $a$ 的取值范围是___。
55The graphs of $y = a(x+2)(4-x)$ and $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ are drawn on the grid. Write down the equation of…
56已知二次函数 $y=f(x)$ 在 $x=-1$ 时取得最小值 $-3$ ，且满足 $f(2)= \dfrac {15}{4}$ ． (1)求函数 $y=f(x)$ 的解析式； (2)当函数 $y=f(x)$ 在 $[-2m+3,-m+2](m > 1)$ …
57已知二次函数 $y={{x}^{2}}-kx-8$ 过点 $P(2,-8)$ ，则当 $-1 < x < 2$ 时， $y$ 的取值范围是．
58设不等式 $\left|{{4}^{x}}-a\right|>\left|1-{{2}^{x\text{+3}}}\right|$ 对所有 $x\in[1,2]$ 均成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $(\quad)$ A. $a< -15$ …
59 $f(x)=2\cos ^{2}x-2a\cos x-1-2a$ 的最小值为 $g(a)$ ， $a∈R(1)$ 求 $g(a)$ ； (2)若 $g(a)= \dfrac {1}{2}$ ，求 $a$ 及此时 $f(x)$ 的最大值．
60Let $y = 2x^3 - x^2 - 10x$ . Complete the table of values for $y = 2x^3 - x^2 - 10x$ . On the grid opposite, draw the grap…