Complete the table of values for $y = x^2 + 2x - 1$ On the grid opposite, draw the graph of $y = x^2 + 2x - 1$ for $-4 \le x \le 2$. Use your graph to write down an inequality in x to describe the range of values where $y < 3$. Answer ... to solve the equation $x^2 + 2x + \tfrac{1}{2} = 0$. Answer x = ... or ... Based on the graph, Eileen stated that 'the coordinates of the minimum point of the graph is $(-1, -2)$'. Show, with working, how you can verify this by expressing $x^2 + 2x - 1$ in the form $(x + p)^2 + q$. Answer

1. 依次将 $x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ 代入表达式计算对应的 $y$ 值

当 $x = -4$ 时，$y = (-4)^2 + 2(-4) - 1 = 16 - 8 - 1 = 7$；
当 $x = -3$ 时，$y = (-3)^2 + 2(-3) - 1 = 9 - 6 - 1 = 2$；
当 $x = -2$ 时，$y = (-2)^2 + 2(-2) - 1 = 4 - 4 - 1 = -1$；
当 $x = -1$ 时，$y = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$；
当 $x = 0$ 时，$y = 0^2 + 2(0) - 1 = -1$；
当 $x = 1$ 时，$y = 1^2 + 2(1) - 1 = 2$；
当 $x = 2$ 时，$y = 2^2 + 2(2) - 1 = 7$。

1. 在坐标系中准确描点并绘制平滑二次函数抛物线

在坐标平面上标出坐标点 $(-4, 7)$、$(-3, 2)$、$(-2, -1)$、$(-1, -2)$、$(0, -1)$、$(1, 2)$、$(2, 7)$，并用平滑曲线顺次连接各点，画出 $-4 \le x \le 2$ 范围内的抛物线。

1. 利用图象读取 $y < 3$ 时对应的 $x$ 的范围

在图象上寻找直线 $y = 3$ 与抛物线 $y = x^2 + 2x - 1$ 的交点。读出交点的横坐标分别约为 $x \approx -3.2$ 和 $x \approx 1.2$（代数精确解为 $x = -1 \pm \sqrt{5}$，即 $-3.24$ 和 $1.24$）。
抛物线位于直线 $y = 3$ 下方区域对应的 $x$ 范围即为 $-3.24 < x < 1.24$。

1. 将方程改写为 $y = f(x)$ 与常数直线相交的形式

将方程 x^2 + 2x + rac{1}{2} = 0变形为：
$x^2 + 2x - 1 = -1.5$
这等价于求抛物线 $y = x^2 + 2x - 1$ 与水平直线 $y = -1.5$ 的交点的横坐标。

2. 在图象上作图并读取交点横坐标

在图中作出直线 $y = -1.5$，观察该直线与抛物线的交点，读出交点的横坐标分别为 $x \approx -1.71$ 和 $x \approx -0.29$（或从图象精度读取为 $-1.7$ 和 $-0.3$）。

1. 对代数式进行配方改写为顶点式

将二次三项式 $x^2 + 2x - 1$ 进行配方：
$x^2 + 2x - 1 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 1 = (x + 1)^2 - 2$

2. 利用顶点式解释并验证最低点的坐标

因为对于任意实数 $x$，都有 $(x + 1)^2 \ge 0$，所以当 $x + 1 = 0$ 即 $x = -1$ 时，$y$ 达到最小值 $-2$。
因此，图象最低点的坐标为 $(-1, -2)$，验证成立。