已知二次函数$y=f(x)$在$x=-1$时取得最小值$-3$，且满足$f(2)= \dfrac {15}{4}$． (1)求函数$y=f(x)$的解析式； (2)当函数$y=f(x)$在$[-2m+3,-m+2](m > 1)$上的最小值是$- \dfrac {9}{4}$时，求$m$的值．

1. 根据顶点坐标设出二次函数的顶点式解析式

因为二次函数 $y=f(x)$ 在 $x=-1$ 时取得最小值 $-3$，所以其图象的顶点坐标为 $(-1, -3)$，且开口向上．
由此可设二次函数的解析式为顶点式：
$f(x) = a(x+1)^2 - 3 \quad (a > 0)$

2. 代入已知点 $f(2) = \dfrac{15}{4}$ 求出待定系数 $a$

又因为 $f(2) = \dfrac{15}{4}$，将 $x=2$ 代入设出的解析式中得：
$a(2+1)^2 - 3 = \dfrac{15}{4}$
$9a - 3 = \dfrac{15}{4}$
$9a = \dfrac{27}{4}$
解得：$a = \dfrac{3}{4}$
由于 $a = \dfrac{3}{4} > 0$，符合最小值要求．

3. 求出解析式的一般式

将 $a = \dfrac{3}{4}$ 代入顶点式，展开化简得：
$f(x) = \dfrac{3}{4}(x+1)^2 - 3 = \dfrac{3}{4}(x^2 + 2x + 1) - 3 = \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{9}{4}$
所以，函数 $y=f(x)$ 的解析式为 $f(x) = \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{9}{4}$．

1. 分析定义域区间与对称轴的位置关系

由 (1) 可知 $f(x) = \dfrac{3}{4}(x+1)^2 - 3$，其对称轴为 $x = -1$，开口向上．
因为 $f(x)$ 在整个定义域上的最小值为 $-3$，而给定在闭区间 $[-2m+3, -m+2]$ 上的最小值是 $-\dfrac{9}{4} > -3$．
所以对称轴 $x = -1$ 不能落在区间 $[-2m+3, -m+2]$ 内部．
由于 $m > 1$，区间的右端点与左端点之差为 $(-m+2) - (-2m+3) = m-1 > 0$，区间有效．
因此，该区间只能完全处于对称轴 $x = -1$ 的左侧或右侧，需分两种情况进行讨论：

2. 讨论区间完全在对称轴右侧的情况并求 $m$

第一种情况：区间完全在对称轴右侧，即左端点 $-2m+3 \geqslant -1$，解得 $m \leqslant 2$．
结合已知条件 $m > 1$，此时 $1 < m \leqslant 2$．
在此区间 $[-2m+3, -m+2]$ 上，函数 $y=f(x)$ 单调递增，因此最小值在左端点处取得：
$f(-2m+3) = -\dfrac{9}{4}$
代入顶点式得：
$\dfrac{3}{4}(-2m+3+1)^2 - 3 = -\dfrac{9}{4}$
$\dfrac{3}{4}(4-2m)^2 = \dfrac{3}{4}$
$(4-2m)^2 = 1$
解得：$4-2m = 1 \implies m = \dfrac{3}{2}$，或 $4-2m = -1 \implies m = \dfrac{5}{2}$．
因为 $1 < m \leqslant 2$，所以 $m = \dfrac{3}{2}$ 符合题意，舍去 $m = \dfrac{5}{2}$．

3. 讨论区间完全在对称轴左侧的情况并求 $m$

第二种情况：区间完全在对称轴左侧，即右端点 $-m+2 \leqslant -1$，解得 $m \geqslant 3$．
在此区间 $[-2m+3, -m+2]$ 上，函数 $y=f(x)$ 单调递减，因此最小值在右端点处取得：
$f(-m+2) = -\dfrac{9}{4}$
代入顶点式得：
$\dfrac{3}{4}(-m+2+1)^2 - 3 = -\dfrac{9}{4}$
$\dfrac{3}{4}(3-m)^2 = \dfrac{3}{4}$
$(3-m)^2 = 1$
解得：$3-m = 1 \implies m = 2$，或 $3-m = -1 \implies m = 4$．
因为 $m \geqslant 3$，所以 $m = 4$ 符合题意，舍去 $m = 2$．

4. 汇总得出最终答案

综上所述，满足条件的 $m$ 的值为 $m = \dfrac{3}{2}$ 或 $m = 4$．