抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a,b,c$为常数$)$的对称轴为$x=-2$，过点$(1,-2)$和点$(x_{0},y_{0})$，且$c>0.$有下列结论：①$a< 0$；②对任意实数$m$都有：$am^{2}+bm\geqslant 4a-2b$；③$16a+c>4b$；④若$x_{0}>-4$，则$y_{0}>c.$其中正确结论的个数为$(\quad)$

A. $1$个

B. $2$个

C. $3$个

D. $4$个

1. 分析 $a$ 的符号，判断结论①的对错

由对称轴为 $x=-2$ 可得：$-\frac{b}{2a}=-2 \implies b=4a$.
将点 $(1,-2)$ 代入抛物线解析式得：$a+b+c=-2 \implies 5a+c=-2$.
因为 $c>0$，所以 $5a=-2-c < -2$，解得 $a < -0.4 < 0$.
所以抛物线开口向下，$a<0$ 正确，即结论①正确。

2. 利用二次函数的最大值性质，判断结论②的对错

因为 $a<0$，抛物线开口向下，其最大值在顶点 $x=-2$ 处取得。
当 $x=-2$ 时，$y_{\text{max}} = a(-2)^2+b(-2)+c = 4a-2b+c$.
因此对于任意实数 $m$，都有 $am^2+bm+c \leqslant 4a-2b+c$.
两边同时减去 $c$，得 $am^2+bm \leqslant 4a-2b$.
所以结论②错误。

3. 利用抛物线的对称性及 $c>0$，判断结论③的对错

由于抛物线的对称轴为 $x=-2$，点 $(0,c)$ 关于对称轴的对称点为 $(-4,c)$。
所以当 $x=-4$ 时，函数值 $y = 16a-4b+c = c$，即 $16a-4b=0$。
因为 $c>0$，所以 $16a-4b+c = c > 0 \implies 16a+c > 4b$。
所以结论③正确。

4. 利用单调性与对称性，判断结论④的对错并得出最终答案

由对称轴 $x=-2$，点 $(0,c)$ 关于对称轴的对称点为 $(-4,c)$，且抛物线开口向下可知：
当 $-4 < x < 0$ 时，函数值 $y > c$；当 $x > 0$ 或 $x < -4$ 时，函数值 $y < c$。
若 $x_0 > -4$，当 $x_0 > 0$ 时，对应的 $y_0 < c$。例如已知过点 $(1,-2)$，此时 $1>-4$ 但 $-2 < c$。
所以结论④错误。
综上所述，正确的结论有①③，共2个。故选B。