已知$y=2x^{2}$的图象是抛物线，若抛物线不动，把$x$轴、$y$轴分别向上、向右平移$2$个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是$()$

A. $y=2(x-2)^{2}+2$

B. $y=2(x+2)^{2}-2$

C. $y=2(x-2)^{2}-2$

D. $y=2(x+2)^{2}+2$

1. 将坐标轴的平移转化为抛物线相对于新坐标系的相对平移

由题意，抛物线不动，把 $x$ 轴、 $y$ 轴分别向上、向右平移 $2$ 个单位。
在新坐标系下，这等价于将抛物线向相反方向平移，即：

• $x$ 轴向上平移 $2$ 个单位 $\Leftrightarrow$ 抛物线向下平移 $2$ 个单位；
• $y$ 轴向右平移 $2$ 个单位 $\Leftrightarrow$ 抛物线向左平移 $2$ 个单位。
  因此，在新坐标系中，抛物线相当于由原抛物线向左平移 $2$ 个单位，再向下平移 $2$ 个单位得到。

2. 确定平移后抛物线的顶点坐标

原抛物线 $y=2x^2$ 的顶点坐标为 $(0,0)$。
将其向左平移 $2$ 个单位，向下平移 $2$ 个单位，新顶点坐标 $(h, k)$ 变为：
$h = 0 - 2 = -2$
$k = 0 - 2 = -2$
即新顶点坐标为 $(-2,-2)$。

3. 根据顶点式写出新解析式并确定选项

平移不改变抛物线的形状和开口方向，即 $a=2$ 保持不变。
设新抛物线的顶点式为 $y=a(x-h)^2+k$，将 $a=2$，$h=-2$，$k=-2$ 代入得：
$y=2(x+2)^2-2$
对照选项，应选择 B。