$f(x)=2\cos ^{2}x-2a\cos x-1-2a$的最小值为$g(a)$，$a∈R(1)$求$g(a)$； (2)若$g(a)= \dfrac {1}{2}$，求$a$及此时$f(x)$的最大值．

1. 将三角函数通过换元转化为二次函数形式，并指明自变量的范围

设 $t = \cos x$，因为 $x \in \mathbb{R}$，所以 $t \in [-1, 1]$．
此时函数解析式可化为：
$F(t) = 2t^2 - 2at - 2a - 1, \quad t \in [-1, 1]$

2. 对二次函数进行配方，确定对称轴

对 $F(t)$ 进行配方得：
$F(t) = 2\left(t - \dfrac{a}{2}\right)^2 - \dfrac{a^2}{2} - 2a - 1$
对称轴为 $t = \dfrac{a}{2}$．

3. 分区间讨论对称轴与区间 $[-1, 1]$ 的位置关系，求出最小值的解析式

① 当 $\dfrac{a}{2} < -1$，即 $a < -2$ 时，对称轴在区间左侧，$F(t)$ 在 $[-1, 1]$ 上单调递增，
当 $t = -1$ 时，函数取得最小值：
$g(a) = F(-1) = 2(-1)^2 - 2a(-1) - 2a - 1 = 1$

② 当 $-1 \leqslant \dfrac{a}{2} \leqslant 1$，即 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ 时，对称轴在区间内，$F(t)$ 在顶点处取得最小值：
$g(a) = -\dfrac{a^2}{2} - 2a - 1$

③ 当 $\dfrac{a}{2} > 1$，即 $a > 2$ 时，对称轴在区间右侧，$F(t)$ 在 $[-1, 1]$ 上单调递减，
当 $t = 1$ 时，函数取得最小值：
$g(a) = F(1) = 2(1)^2 - 2a(1) - 2a - 1 = 1 - 4a$

综上所述，
$g(a)= \begin{cases} 1, & a < -2 \\ - \dfrac {a^{2}}{2}-2a-1, & -2\leqslant a\leqslant 2 \\ 1-4a, & a > 2\end{cases}$

1. 复用第一问结果，分区间讨论方程 $g(a) = \frac{1}{2}$ 的解

由第一问求得的 $g(a)$ 解析式，令 $g(a) = \dfrac{1}{2}$：
① 当 $a < -2$ 时，$1 = \dfrac{1}{2}$，无解．
② 当 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ 时，
$- \dfrac {a^{2}}{2}-2a-1 = \dfrac{1}{2} \implies a^2 + 4a + 3 = 0$
解得 $a = -1$ 或 $a = -3$（由于 $-3 \notin [-2, 2]$，舍去）．
③ 当 $a > 2$ 时，
$1 - 4a = \dfrac{1}{2} \implies a = \dfrac{1}{8}$
由于 $\dfrac{1}{8} < 2$，舍去．
综上所述，$a = -1$．

2. 代入 $a = -1$，确定 $f(x)$ 对应的二次函数解析式

当 $a = -1$ 时，令 $t = \cos x \in [-1, 1]$，
$F(t) = 2t^2 + 2t + 1$

3. 求解二次函数在闭区间上的最大值

由于二次函数 $F(t) = 2t^2 + 2t + 1$ 开口向上，对称轴为 $t = -\dfrac{1}{2}$．
自变量区间为 $t \in [-1, 1]$．
端点 $t = 1$ 距离对称轴 $t = -\dfrac{1}{2}$ 较远，故在 $t = 1$ 处取得最大值：
$F(1) = 2(1)^2 + 2(1) + 1 = 5$
所以此时 $f(x)$ 的最大值为 $5$．