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Basic inequality (AM-GM)

Master the basic inequality sqrt(ab) <= (a+b)/2 for a,b>=0 and use it to solve simple maximum or minimum problems.

Practice questions

1用同样长的绳子分别围长方形、正方形、圆，面积从小到大的排列是 $(\quad)$ A. 圆 $<$ 正方形 $<$ 长方形 B. 正方形 $<$ 长方形 $<$ 圆 C. 圆 $>$ 正方形 $>$ 长方形 D. 长方形 $<$ 正方形 $<$ …
2若 $1\leqslant x\leqslant 3\leqslant y\leqslant 5$ ，则 $(\quad)$ A. $4\leqslant x+y\leqslant 8$ B. $x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{16}{y}$ …
3已知 $f(x)=\left|2x+1\right|+\left|x-1\right|.(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值 $m$ 及最小值 $n$ ； $(Ⅱ)$ 在 $(Ⅰ)$ 的条件下，设 $a,b\in R$ …
4在 $\triangle ABC$ 中，设边 $a$ ， $b$ ， $c$ 所对的角为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 都不是直角， $(bc-8)\cos A+ac\cos B=a^{2}-b^{2}$ …
5已知椭圆 $C$ ： $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦点 $F$ 在直线 $x+y-1=0$ 上，离心率为 $\dfrac{\sqrt[]{2}}{2}.(1)$ …
6已知 $n$ 行 $n$ 列 $\left(n\geqslant 2\right)$ 的数表 $A=\left(\begin{matrix}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}&\cdot\cdot\cdot&{{a}_{1n}}\\ {{a}_{21}}&{{a}_{22}}&\cdot\cdot\cdot&{{a}_{2n}}\\ \vdots &\vdots&\ddots&\vdots\\ {{a}_{n1}}&{{a}_{n2}}&\cdot\cdot\cdot&{{a}_{nn}}\\\end{matrix}\right)$ …
7新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为 $250$ 万元，每生产 $x$ 千件需另投入成本为 $C\left({x}\right).$ 当年产量不足 $80$ 千件时， $C\left({x}\right)=\dfrac{1}{3}x^{2}+10x($ …
8已知点 $A(\sqrt{2},1)$ 是离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆 $C$ ： $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\text{ > }b\text{ > }0)$ …
9已知 $a$ ， $b∈R$ ，命题 $p$ ： $\dfrac {a+b}{2} < \sqrt {ab}$ ，命题 $q$ ： $|a+b|=|a|+|b|$ ，则 $p$ 是 $q$ 成立的 ___ 条件．
10已知实数 $a > 0$ ，设函数 $f(x)=\left|x+ \dfrac{1}{a}\right|+\left|x-a\right|$ ． $($ Ⅰ $)$ 证明： $f(x)\geqslant 2$ ； $($ Ⅱ $)$ …
11某厂家计划在 $2016$ 年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量 $m$ 万件与年促销费用 $x$ 万元满足： $m=3- \dfrac {2}{x+1}$ ，已知 $2016$ 年生产该产品的固定投入为 $8$ 万元，每生产 $1$ …
12已知 $a+2b=2$ ，则 $4^{a}+16^{b}$ 的最小值为 $()$ A. $2$ B. $4$ C. $8$ D. $16$
13下列命题中，正确的是 $()$ A. 函数 $y{=}x{+}\dfrac{1}{x}$ 的最小值为 $2$ B. 函数 $y{=}\dfrac{x^{2}{+}3}{\sqrt{x^{2}{+}2}}$ 的最小值为 $2$ C. 函…
14下列几个命题： ①函数 $y\text{=}\sqrt{x^{2}\text{-}1}\text{+}\sqrt{1\text{-}x^{2}}$ 是偶函数，但不是奇函数； ②“ $\left\{\begin{matrix}a\text{ > }0\\ {\Delta=}b^{2}\text{-}4ac{\leqslant}0\\\end{matrix}\right.$ …
15在 $\vartriangle ABC$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $BC$ ， $AC$ ， $AB$ 中点，下列说法正确的是 $(\quad)$ A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$ …
16在直径为4的圆内接矩形中，最大的面积是（） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8
17已知不等式 $(x+y)\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{a}{y} \right)\geqslant 9$ 对任意的正实数 $x$ ， $y$ 恒成立，则正实数 $a$ 的最小值为___．
18已知 $a>0$ ， $b>0$ ， $a+b=1$ ，则 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{4a}{b}$ 的最小值为___.
19已知 $a>b>c$ ，若 $\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{4}{b-c}\geqslant\dfrac{m}{a-c}$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为 $(\quad)$ A. $3$ B. $4$ C. $8$ …
20用 $12cm$ 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是 $(\quad)$ A. $3cm^{2}$ B. $6cm^{2}$ C. $9cm^{2}$ D. $12cm^{2}$
21设函数 $f(x)=ax- \dfrac {a}{x}-2\ln x$ ． (1)若 $f(x)$ 在 $x=2$ 时有极值，求实数 $a$ 的值和 $f(x)$ 的极大值； (2)若 $f(x)$ 在定义域上是增函数，求实数 $a$ 的取…
22在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a\sin B-\sqrt{3}b\cos B\cos C=\sqrt{3}c{\cos}^{2}B.(1)$ …
23设 $\{a_{n}\}$ 是由正数组成的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是由正数组成的等比数列，且 $a_{1}=b_{1}$ ， $a_{2003}=b_{2003}$ ，则必有 $(\quad)$ A. $a_{1002}>b_{1002}$ …
24设 $m\in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x+my=0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $mx-y-m+3=0$ 交于点 $P(x,y)$ ，则 $|PA|+|PB|$ 的取值范围是 $(\quad)$ A. $[\sqrt{5},2\:\sqrt{5}]$ …
25已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $(x+1)(y+2)=16$ ，则 $x+y$ 的最小值为 ___.
26已知函数 $f(x)=\ln(x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})+1$ ，若正实数 $a\text{ },\text{ }b$ 满足 $f(4a)+f(b-1)=2$ ，则 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ 的…
27设 $a>0$ ， $b>0$ ，若 $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项，则 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ 最小值为 $(\quad)$ A. $4$ B. $3$ …
28已知函数 $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+4},x\in(-3,3)$ ，若对任意 $x\in(-3,3)$ ，总存在 $a\in[-1,2]$ ，使得不等式 $f(x)+at+t^{2}-\dfrac{1}{4}< 0$ 都恒…
29函数 $y=\log_{2}(x+\dfrac{1}{x-1}+5)(x>1)$ 的最小值为 $(\quad)$ A. $4$ B. $-4$ C. $-3$ D. $3$
30已知实数 $a>1$ ，则 $\dfrac{1}{a-1}+a$ 的最小值是 ___.
31(1)已知向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $45°$ ，且 $\left|\overrightarrow{a}\right|=1,\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{10}$ …
32某机床厂今年初用 $98$ 万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用 $12$ 万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加 $4$ 万元，该机床使用后，每年的总收入为 $50$ 万元，设使用 $x$ 年后数…
33已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点， $M$ 是它们的一个公共点，且 $∠F_{1}MF_{2}=\dfrac{π}{3}$ ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 $(\quad)$ A. $2$ …
34已知 $M$ 是 $\triangle ABC$ 内的一点，且 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2 \sqrt {3}$ ， $∠BAC=30^{\circ}$ ，若 $\triangle MBC$ …
35已知向量 $\overrightarrow{a}=(2,-n)$ ， $\overrightarrow{b}=(S_{n},n+1)$ ， $n∈N^{*}$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，…
36已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $2x+y=xy+a$ ，当 $a=0$ 时， $x+y$ 的最小值为___；当 $a=-2$ 时， $x+y$ 的最小值为___.
37设 $m$ ， $n$ 为正数，且 $m+n=2$ ，则 $\dfrac{4}{m+1}+\dfrac{1}{n+1}$ 的最小值为 $(\quad)$ A. $\dfrac{13}{4}$ B. $\dfrac{9}{4}$ C…
38参数方程为 $\begin{cases} x=t+ \dfrac {1}{t} \\ y=2\end{cases}(t$ 为参数 $)$ 表示的曲线是 $()$ A. 两条射线 B. 两条直线 C. 一条射线 D. 一条直线
39已知点 $A(\sqrt{2},1)$ 是离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆 $C$ ： $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)$ …
40甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 $m$ 行走，另一半时间以速度 $n$ 行走；有一半路程乙以速度 $m$ 行走，另一半路程以速度 $n$ 行走，如果 $m≠n$ ，甲乙两人谁先到达指定地点 $(\quad)$ …
41已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x+2y=1$ ，则 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2x}{y}$ 的最小值为 ___.