设$m\in R$，过定点$A$的动直线$x+my=0$和过定点$B$的动直线$mx-y-m+3=0$交于点$P(x,y)$，则$|PA|+|PB|$的取值范围是$(\quad)$

A. $[\sqrt{5},2\:\sqrt{5}]$

B. $[2\sqrt{5},4\:\sqrt{5}]$

C. $[\sqrt{10},4\:\sqrt{5}]$

D. $[\sqrt{10},2\:\sqrt{5}]$

1. 求动直线 $x+my=0$ 过的定点 $A$

对于直线 $x+my=0$，无论 $m$ 取何值，当 $x=0, y=0$ 时等式恒成立。
因此，直线 $x+my=0$ 恒过定点 $A(0,0)$。

2. 求动直线 $mx-y-m+3=0$ 过的定点 $B$

将直线 $mx-y-m+3=0$ 变形为 $m(x-1) - (y-3) = 0$。
令 $x-1=0$ 且 $y-3=0$，解得 $x=1, y=3$。
因此，该直线恒过定点 $B(1,3)$。

3. 确定两动直线的位置关系

当 $m \neq 0$ 时，直线 $x+my=0$ 的斜率为 $k_1 = -\frac{1}{m}$，直线 $mx-y-m+3=0$ 的斜率为 $k_2 = m$。
因为 $k_1 \cdot k_2 = -1$，所以两直线始终垂直。
当 $m = 0$ 时，两直线分别为 $x = 0$ 和 $y = 3$，它们也互相垂直。
综上所述，两动直线始终垂直，其交点为 $P$。

4. 利用勾股定理求得 $|PA|^2 + |PB|^2$ 的值

由于两直线始终垂直且交点为 $P$，所以 $\angle APB = 90^\circ$。
在直角三角形 $APB$ 中，由勾股定理可知 $|PA|^2 + |PB|^2 = |AB|^2$。
利用两点间距离公式，计算 $|AB|^2 = (1-0)^2 + (3-0)^2 = 1 + 9 = 10$。
所以，恒有 $|PA|^2 + |PB|^2 = 10$。

5. 利用不等式性质求 $|PA| + |PB|$ 的取值范围

设 $u = |PA| \geqslant 0$，$v = |PB| \geqslant 0$，则 $u^2 + v^2 = 10$。
由基本不等式可得：
$(u+v)^2 \leqslant 2(u^2+v^2) = 20$，当且仅当 $u=v=\sqrt{5}$ 时等号成立，因此 $u+v \leqslant 2\sqrt{5}$。
同时，$(u+v)^2 = u^2+v^2+2uv = 10+2uv \geqslant 10$（因为 $uv \geqslant 0$），当且仅当 $u=0$ 或 $v=0$ 时等号成立。
当 $m=3$ 时，点 $P$ 与 $A$ 重合，此时 $u=0, v=\sqrt{10}$；当 $m=-\frac{1}{3}$ 时，点 $P$ 与 $B$ 重合，此时 $v=0, u=\sqrt{10}$。两边界点均可取到。
因此，$\sqrt{10} \leqslant u+v \leqslant 2\sqrt{5}$，即 $|PA|+|PB|$ 的取值范围是 $[\sqrt{10}, 2\sqrt{5}]$。