设$m$，$n$为正数，且$m+n=2$，则$\dfrac{4}{m+1}+\dfrac{1}{n+1}$的最小值为$(\quad)$

A. $\dfrac{13}{4}$

B. $\dfrac{9}{4}$

C. $\dfrac{7}{4}$

D. $\dfrac{9}{5}$

1. 通过换元简化已知条件

设 $a = m+1$，$b = n+1$。
因为 $m, n > 0$，所以 $a > 1$，$b > 1$。
且 $a + b = (m+1) + (n+1) = m+n+2$。
由已知 $m+n=2$，得 $a+b = 4$。

2. 将目标代数式变形，利用常数代换（“乘1”法）展开

目标式可化为 $\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b}$。
由于 $a+b=4$，所以 $\dfrac{a+b}{4} = 1$。
则有：
$\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = \left(\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \cdot \dfrac{a+b}{4} = \dfrac{1}{4} \left(4 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{4b}{a} + 1\right) = \dfrac{1}{4} \left(5 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{4b}{a}\right)$

3. 应用基本不等式求出最小值并检验等号成立条件

因为 $a > 0, b > 0$，由基本不等式得：
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{4b}{a} \ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{4b}{a}} = 4$
所以：
$\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{1}{4} (5 + 4) = \dfrac{9}{4}$
当且仅当 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{4b}{a}$ 即 $a = 2b$ 时，等号成立。
联立 $a+b=4$ 解得 $a = \dfrac{8}{3}$，$b = \dfrac{4}{3}$，此时 $m = \dfrac{5}{3} > 0$，$n = \dfrac{1}{3} > 0$，符合题意。
因此，$\dfrac{4}{m+1}+\dfrac{1}{n+1}$ 的最小值为 $\dfrac{9}{4}$。
正确选项为 B。