用 $12cm$ 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是 $(\quad)$
A. $3cm^{2}$
B. $6cm^{2}$
C. $9cm^{2}$
D. $12cm^{2}$

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完整解法

1. 根据周长建立长与宽的代数关系

设矩形的长和宽分别为 $x$ cm 和 $y$ cm，由题意，矩形的长与宽皆为正数，即 $x > 0, y > 0$ 。
根据周长为 $12$ cm 可得：
$2(x + y) = 12$
整理得：
$x + y = 6$

2. 利用基本不等式求面积的最大值并得出结论

矩形的面积为 $S = xy$ 。
因为 $x > 0, y > 0$ ，由基本不等式 $ab \le \left(\dfrac{a+b}{2} ight)^2$ 可得：

ight)^2 = \left(\dfrac{6}{2} ight)^2 = 9$$ 当且仅当 $x = y = 3$ 时，等号成立。 因此，当矩形的长和宽都为 $3$ cm 时，面积最大，最大值为 $9\text{ cm}^2$。 故正确选项为 C。

答案

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