设$\{a_{n}\}$是由正数组成的等差数列，$\{b_{n}\}$是由正数组成的等比数列，且$a_{1}=b_{1}$，$a_{2003}=b_{2003}$，则必有$(\quad)$

A. $a_{1002}>b_{1002}$

B. $a_{1002}=b_{1002}$

C. $a_{1002}\geqslant b_{1002}$

D. $a_{1002}\leqslant b_{1002}$

1. 利用等差数列的性质表示 $a_{1002}$

因为数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，根据等差数列的性质，其中间项满足：
$a_{1002} = \frac{a_{1} + a_{2003}}{2}$

2. 利用等比数列的性质表示 $b_{1002}$

因为数列 $\{b_{n}\}$ 是由正数组成的等比数列，根据等比数列的性质，其中间项满足：
$b_{1002} = \sqrt{b_{1} \cdot b_{2003}}$

3. 利用基本不等式比较 $a_{1002}$ 与 $b_{1002}$ 的大小并作答

已知 $a_{1} = b_{1} > 0$ 且 $a_{2003} = b_{2003} > 0$，代入等比中项表达式得：
$b_{1002} = \sqrt{a_{1} \cdot a_{2003}}$
由基本不等式 $\frac{x+y}{2} \geqslant \sqrt{xy}$（当且仅当 $x=y$ 时等号成立），可知对于正数 $a_{1}$ 和 $a_{2003}$，有：
$\frac{a_{1} + a_{2003}}{2} \geqslant \sqrt{a_{1} \cdot a_{2003}}$
即：
$a_{1002} \geqslant b_{1002}$
因此必有 $a_{1002} \geqslant b_{1002}$。
故选 C。