已知$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\dfrac{1}{a}+\dfrac{4a}{b}$的最小值为___.

1. 利用 $a+b=1$ 将目标代数式进行恒等变形，消去分子中的变量 $a$

因为 $a+b=1$，所以 $4a = 4(1-b) = 4-4b$。
将其代入目标代数式中，可得：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{4a}{b} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{4(1-b)}{b} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}-4$

2. 利用常数“1”的代换，将式子展开以便使用基本不等式

因为 $a+b=1$，且 $a>0, b>0$，我们可以将 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}$ 乘以 $(a+b)$：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b} = \left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\right)(a+b) = 1 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{4a}{b} + 4 = \dfrac{b}{a} + \dfrac{4a}{b} + 5$

3. 应用基本不等式求出最值并验证等号成立的条件

因为 $a>0, b>0$，所以 $\dfrac{b}{a}>0$，$\dfrac{4a}{b}>0$。
根据基本不等式，得：
$\dfrac{b}{a} + \dfrac{4a}{b} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{4a}{b}} = 4$
当且仅当 $\dfrac{b}{a} = \dfrac{4a}{b}$，即 $b = 2a$ 时等号成立。
又因为 $a+b=1$，代入可解得 $a = \dfrac{1}{3}$，$b = \dfrac{2}{3}$，此时 $a>0, b>0$ 满足条件。
因此，$\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b} \geqslant 4 + 5 = 9$。

4. 计算原代数式的最小值

由此可得：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{4a}{b} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}-4 \geqslant 9 - 4 = 5$
所以 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{4a}{b}$ 的最小值为 $5$。