参数方程为{x=t+1ty=2(t \begin{cases} x=t+ \dfrac {1}{t} \\ y=2\end{cases}(t为参数))表示的曲线是()()
A. 两条射线
B. 两条直线
C. 一条射线
D. 一条直线

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完整解法

1. 分析参数方程中 $y$ 的取值及 $x$ 的表达式特征

由参数方程 {x=t+1ty=2\begin{cases} x=t+ \dfrac {1}{t} \\ y=2\end{cases} (tt 为参数) 可知,对于任意满足条件的参数 tt,其纵坐标恒为 y=2y=2。因此该曲线位于直线 y=2y=2 上,其具体图形取决于横坐标 x=t+1tx = t + \dfrac{1}{t}(其中 t≠0t \neq 0)的取值范围。

2. 通过分类讨论与基本不等式求出 $x$ 的取值范围

由于 t≠0t \neq 0,我们分两种情况讨论 xx 的范围:

  1. 当 t>0t > 0 时,根据基本不等式,有:
    x=t+1t⩾2t⋅1t=2x = t + \frac{1}{t} \geqslant 2 \sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2
    当且仅当 t=1tt = \dfrac{1}{t} 即 t=1t = 1 时,等号成立,此时 xx 的最小值为 22,即 x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty)。

  2. 当 t<0t < 0 时,有 −t>0-t > 0,则:
    x=t+1t=−(−t+1−t)⩽−2(−t)⋅(1−t)=−2x = t + \frac{1}{t} = -\left(-t + \frac{1}{-t}\right) \leqslant -2 \sqrt{(-t) \cdot \left(\frac{1}{-t}\right)} = -2
    当且仅当 −t=1−t-t = \dfrac{1}{-t} 即 t=−1t = -1 时,等号成立,此时 xx 的最大值为 −2-2,即 x∈(−∞,−2]x \in (-\infty, -2]。

综上所述,横坐标 xx 的取值范围为 x⩽−2x \leqslant -2 或 x⩾2x \geqslant 2。

3. 结合 $x$ 的范围与 $y$ 的值确定曲线的几何图形并得出结论

结合 y=2y=2 以及 x⩽−2x \leqslant -2 或 x⩾2x \geqslant 2,可知该参数方程表示的图形是:
在直线 y=2y=2 上,满足 x⩽−2x \leqslant -2 和 x⩾2x \geqslant 2 的部分。这对应两条起点分别为 (−2,2)(-2, 2) 和 (2,2)(2, 2) 的射线。
因此,该参数方程表示的曲线是两条射线。

故选:A。

答案

A

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