已知正实数$x$，$y$满足$(x+1)(y+2)=16$，则$x+y$的最小值为 ___.

1. 将目标代数式 $x+y$ 变形，使其与已知条件式中的两项相匹配

因为 $x, y$ 是正实数，所以 $x+1 > 1 > 0$，$y+2 > 2 > 0$。
为了利用已知条件 $(x+1)(y+2)=16$，将目标式 $x+y$ 变形为：
$x+y = (x+1) + (y+2) - 3$

2. 利用基本不等式求出代数式的取值范围

因为 $x+1 > 0$ 且 $y+2 > 0$，根据基本不等式 $a+b \geqslant 2\sqrt{ab}$，得：
$(x+1) + (y+2) \geqslant 2\sqrt{(x+1)(y+2)}$
代入已知条件 $(x+1)(y+2)=16$，得：
$(x+1) + (y+2) \geqslant 2\sqrt{16} = 8$
因此，
$x+y = (x+1) + (y+2) - 3 \geqslant 8 - 3 = 5$

3. 验证等号成立的条件，确定最小值

当且仅当 $x+1 = y+2$ 时，等号成立。
结合 $(x+1)(y+2)=16$，解得 $x+1=4$ 且 $y+2=4$，即 $x=3$，$y=2$。
此时 $x=3 > 0$，$y=2 > 0$ 满足正实数条件。
因此，$x+y$ 的最小值为 $5$。