设$a>0$，$b>0$，若$\sqrt{3}$是$3^{a}$与$3^{b}$的等比中项，则$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$最小值为$(\quad)$

A. $4$

B. $3$

C. $1$

D. $\dfrac{1}{4}$

1. 根据等比中项和指数运算性质求出 $a+b$ 的值

因为 $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项，且 $a>0$，$b>0$，
所以 $3^{a} \cdot 3^{b} = (\sqrt{3})^{2} = 3$。
根据指数幂的运算法则，得 $3^{a+b} = 3^{1}$，
所以 $a+b = 1$。

2. 利用基本不等式求出 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ 的最小值

由于 $a>0$，$b>0$ 且 $a+b=1$，
我们将 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ 变形为：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} = (a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right) = 1 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} + 1 = 2 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}$
因为 $a>0, b>0$，所以 $\dfrac{b}{a} > 0$，$\dfrac{a}{b} > 0$。
由基本不等式得：
$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b}} = 2$
当且仅当 $\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{b}$，即 $a=b=\dfrac{1}{2}$ 时，等号成立。
因此，$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geqslant 2+2=4$。
所以 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ 的最小值为 $4$。
故正确选项为 A。