已知$a+2b=2$，则$4^{a}+16^{b}$的最小值为$()$

A. $2$

B. $4$

C. $8$

D. $16$

1. 将待求式变形为同底数幂相加的形式

将 $16^b$ 变形为以 $4$ 为底的幂：
$16^b = (4^2)^b = 4^{2b}$
因此，待求式可化为：
$4^a + 16^b = 4^a + 4^{2b}$

2. 利用基本不等式对表达式进行放缩

因为 $4^a > 0$ 且 $4^{2b} > 0$，由基本不等式 $x+y \geqslant 2\sqrt{xy}$ 可得：
$4^a + 4^{2b} \geqslant 2\sqrt{4^a \cdot 4^{2b}} = 2\sqrt{4^{a+2b}}$

3. 代入已知条件求出最小值，并验证等号成立的条件

已知 $a+2b=2$，代入上式得：
$2\sqrt{4^{a+2b}} = 2\sqrt{4^2} = 2 \times 4 = 8$
当且仅当 $4^a = 4^{2b}$，即 $a=2b$ 时，等号成立。
联立 $\begin{cases} a=2b \\ a+2b=2 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=1 \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}$，此时等号成立。
因此，$4^a+16^b$ 的最小值为 $8$。

故选：C。