已知实数$a>1$，则$\dfrac{1}{a-1}+a$的最小值是 ___.

1. 变形代数式，凑出可利用基本不等式的结构

因为 $a > 1$，所以 $a - 1 > 0$。
为了利用基本不等式求最值，需要构造积为定值的两项。将原式进行恒等变形：
$\dfrac{1}{a-1} + a = \dfrac{1}{a-1} + (a-1) + 1$

2. 运用基本不等式求解最值并检验等号成立的条件

因为 $a - 1 > 0$，由基本不等式 $x + y \geqslant 2\sqrt{xy}$（$x, y > 0$）可得：
$\dfrac{1}{a-1} + (a-1) \geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{a-1} \cdot (a-1)} = 2$
当且仅当 $\dfrac{1}{a-1} = a-1$，即 $(a-1)^2 = 1$ 时等号成立。
因为 $a > 1$，所以 $a-1 = 1$，即 $a = 2$ 时，等号可以取到。
因此，原式可得：
$\dfrac{1}{a-1} + (a-1) + 1 \geqslant 2 + 1 = 3$
所以 $\dfrac{1}{a-1}+a$ 的最小值是 $3$。