某机床厂今年初用$98$万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用$12$万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加$4$万元，该机床使用后，每年的总收入为$50$万元，设使用$x$年后数控机床的盈利总额$y$元． (1)写出$y$与$x$之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该机床开始盈利？ (3)使用若干年后，对机床的处理有两种方案：$①$当年平均盈利额达到最大值时，以$30$万元价格处理该机床；$②$当盈利额达到最大值时，以$12$万元价格处理该机床.问哪种方案处理较为合理？请说明理由．

1. 计算前 $x$ 年的保养维修费用之和

每年的维修、保养费用第一年为 $12$ 万元，从第二年开始每年比上一年增加 $4$ 万元，这形成了一个首项 $a_1 = 12$，公差 $d = 4$ 的等差数列。
因此，前 $x$ 年的维修、保养费用之和为：
$S_x = x \cdot 12 + \frac{x(x - 1)}{2} \times 4 = 12x + 2x(x - 1) = 2x^2 + 10x \text{（万元）}$

2. 列出盈利总额 $y$ 与使用年数 $x$ 的函数关系式

由题意可知，盈利总额 $y = \text{总收入} - \text{设备购买成本} - \text{总维修保养费用}$。
前 $x$ 年的总收入为 $50x$ 万元，购进设备成本为 $98$ 万元。
所以，盈利总额 $y$（万元）与 $x$ 之间的关系式为：
$y = 50x - 98 - (2x^2 + 10x) = -2x^2 + 40x - 98$
因为 $x$ 表示年数，所以定义域为 $x \in \mathbb{N}^*$。

1. 列出开始盈利的不等式并整理

要使机床开始盈利，需满足盈利总额 $y > 0$，即：
$-2x^2 + 40x - 98 > 0$
不等式两边同除以 $-2$（并改变不等号方向）得：
$x^2 - 20x + 49 < 0$

2. 求出不等式的整数解并确定开始盈利的年份

对应方程 $x^2 - 20x + 49 = 0$ 的根为：
$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 196}}{2} = 10 \pm \sqrt{51}$
因为 $7 < \sqrt{51} < 8$，所以 $2 < 10 - \sqrt{51} < 3$，而 $17 < 10 + \sqrt{51} < 18$。
因此，不等式的解集为 $10 - \sqrt{51} < x < 10 + \sqrt{51}$。
由于 $x \in \mathbb{N}^*$，可得正整数 $x$ 的最小值为 $3$。
所以，从第 $3$ 年开始该机床开始盈利。

1. 分析方案①下平均盈利额最大时的年数与总利润

方案①：年平均盈利额为 $\frac{y}{x}$（万元）。
$\frac{y}{x} = \frac{-2x^2 + 40x - 98}{x} = 40 - \left(2x + \frac{98}{x}\right)$
因为 $x > 0$，由基本不等式得：
$2x + \frac{98}{x} \ge 2\sqrt{2x \cdot \frac{98}{x}} = 2\sqrt{196} = 28$
当且仅当 $2x = \frac{98}{x}$ 即 $x = 7$ 时等号成立。
此时，年平均盈利额达到最大值 $40 - 28 = 12$ 万元。
在第 $7$ 年时，盈利额为 $y(7) = -2 \times 7^2 + 40 \times 7 - 98 = 84$ 万元。
加上处理机床的 $30$ 万元，方案①的总利润为：
$84 + 30 = 114 \text{（万元）}$

2. 分析方案②下盈利额最大时的年数与总利润

方案②：当盈利额达到最大值时。
$y = -2x^2 + 40x - 98 = -2(x - 10)^2 + 102$
因为 $x \in \mathbb{N}^*$，当 $x = 10$ 时，盈利额 $y$ 达到最大值 $102$ 万元。
加上处理机床的 $12$ 万元，方案②的总利润为：
$102 + 12 = 114 \text{（万元）}$

3. 对比两方案并给出决策理由

比较两种方案：
两种方案最终获得的总利润都是 $114$ 万元。
但方案①只需要使用 $7$ 年，而方案②需要使用 $10$ 年。
由于方案①使用时间短，设备折旧更慢，资金回收快，因此第一种方案处理较为合理。