我校今年学生节期间准备销售一种成本为每瓶$4$元的饮料。据去年学生节试销情况分析，按每瓶$5$元销售，一天能售出$500$瓶；在此基础上，销售单价每涨$0.1$元，该日销售量就减少$10$瓶。针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)设销售单价为每瓶$x$元，当日销售量为$y$瓶，求$y$与$x$的函数关系式$($不写出$x$的取值范围$)$； (2)设该日销售利润为$w$元，求$w$与$x$的函数关系式$($不写出$x$的取值范围$)$； (3)该日销售利润为$800$元，求销售单价。

1. 表示销售单价上涨额与销售量减少量之间的数量关系

根据题意，销售单价比每瓶 $5$ 元上涨了 $(x-5)$ 元。
由于单价每涨 $0.1$ 元，日销售量就减少 $10$ 瓶，因此日销售量减少了：
$10 \times \dfrac{x-5}{0.1} = 100(x-5)\text{（瓶）}$

2. 写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式

从原销售量 $500$ 瓶中减去减少的销量，得到当日销售量 $y$：
$y = 500 - 100(x-5) = 1000 - 100x$

1. 根据利润公式列出 w 关于 x 的代数式

每瓶饮料的成本为 $4$ 元，销售单价为 $x$ 元，则单瓶利润为 $(x-4)$ 元。
结合第 (1) 问求得的日销售量 $y = 1000 - 100x$，日销售利润 $w$ 可表示为：
$w = (x-4)(1000-100x)$

2. 展开化简得到二次函数的标准式

展开所得代数式：
$w = 1000x - 100x^2 - 4000 + 400x = -100x^2 + 1400x - 4000$

1. 将利润 800 元代入函数关系式，列出一元二次方程

令 $w = 800$，代入第 (2) 问的关系式中，得：
$-100x^2 + 1400x - 4000 = 800$
将方程各项同除以 $-100$ 并移项整理，得：
$x^2 - 14x + 48 = 0$

2. 解一元二次方程并根据实际情境进行合理性检验

利用因式分解法解方程：
$(x-6)(x-8) = 0$
解得：
$x_1 = 6, \quad x_2 = 8$
经检验，当 $x = 6$ 时，销量 $y = 400 > 0$；当 $x = 8$ 时，销量 $y = 200 > 0$，均符合题意。
因此，该日销售利润为 $800$ 元时，销售单价为 $6$ 元或 $8$ 元。