某商品的进价为每件$30$元，现在的售价为每件$40$元，每星期可卖出$150$件.市场调查反映：如果每件的售价每涨$1$元$($售价每件不能高于$45$元$)$，那么每星期少卖$10$件.设每件涨价$x$元$(x$为非负整数$)$，每星期的销量为$y$件． (1)求$y$与$x$的函数关系式及自变量$x$的取值范围； (2)涨价多少元才能使每星期的利润$W$最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？

1. 求出销量 $y$ 与涨价 $x$ 之间的关系式

根据题意，原售价为每件 $40$ 元，每星期可卖出 $150$ 件。每涨价 $1$ 元，销量减少 $10$ 件。
若每件涨价 $x$ 元，销量减少 $10x$ 件，则每星期的销量为：
$y = 150 - 10x$

2. 求自变量 $x$ 的取值范围

由于售价每件不能高于 $45$ 元，可得：
$40 + x \leqslant 45 \implies x \leqslant 5$
同时，涨价 $x$ 元中 $x$ 为非负整数，所以自变量 $x$ 的取值范围为：
$0 \leqslant x \leqslant 5 \text{ 且 } x \text{ 为非负整数}$

1. 列出利润 $W$ 的二次函数关系式

设每星期的利润为 $W$ 元，根据“总利润 $=$ 每件利润 $\times$ 销售件数”，每件商品的利润为 $(40 + x - 30) = x + 10$ 元，销售件数为 $y = 150 - 10x$ 件。
故 $W$ 与 $x$ 的函数关系式为：
$W = (x + 10)(150 - 10x) = -10x^2 + 50x + 1500$

2. 利用配方法求出二次函数的顶点并分析最值

将二次函数关系式配方，得：
$W = -10(x^2 - 5x) + 1500 = -10(x - 2.5)^2 + 1562.5$
抛物线开口向下，对称轴为直线 $x = 2.5$。但自变量 $x$ 必须为整数。

3. 根据自变量整数限制求出最值点并进行销量比较

由于 $x$ 为非负整数，最接近对称轴 $2.5$ 的整数值为 $x = 2$ 或 $x = 3$。
代入计算：

• 当 $x = 2$ 时，$W = -10(2-2.5)^2 + 1562.5 = 1560$ 元，销量为 $y = 150 - 10 \times 2 = 130$ 件。
• 当 $x = 3$ 时，$W = -10(3-2.5)^2 + 1562.5 = 1560$ 元，销量为 $y = 150 - 10 \times 3 = 120$ 件。

由于题目要求“每星期的利润 $W$ 最大且每星期的销量较大”，通过对比，$x = 2$ 时的销量 $130 > 120$，更符合题意。因此，涨价 $2$ 元时，利润最大且销量较大，最大利润为 $1560$ 元。