质数

什么是质数与合数？

我们可以根据一个大于 $1$ 的正整数能被多少个正整数整除，将其分为两类：

• 质数 (Prime Number)：只能被 $1$ 和它自身整除（恰好有 $2$ 个因数）。
  • 例如：$2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$
• 合数 (Composite Number)：除了 $1$ 和它自身外，还能被其他正整数整除（有 $3$ 个或更多的因数）。
  • 例如：$4$（因数有 $1, 2, 4$），$6$（因数有 $1, 2, 3, 6$）。

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为什么 $1$ 既不是质数也不是合数？

这是一个在 O-Level 中非常经典且必须明确的概念：$1$ 既不是质数，也不是合数。

• 从定义来看：质数必须恰好有两个不同的正因数（$1$ 和它自己）。而 $1$ 只有一个正因数，就是它自己。
• 从唯一分解定理来看：如果 $1$ 是质数，那么每个数写成质因数乘积的形式就会失去“唯一性”。
  • 例如：$6 = 2 \times 3$，但如果 $1$ 是质数，我们就可以写成 $6 = 2 \times 3 \times 1 = 2 \times 3 \times 1 \times 1 \dots$ 这会带来不必要的混乱。

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唯一分解定理 (Unique Factorisation)

合数就像是“复合材料”，而质数就是构建所有整数的“化学元素”。

算术基本定理指出：
任何一个大于 $1$ 的合数，都可以唯一地写成若干个质数相乘的形式（不考虑因数的顺序）。这个过程被称为质因数分解 (Prime Factorisation)。

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$

无论你用什么方法分解，$12$ 的质因数最终只有 $2$（两个）和 $3$（一个）。

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思考与尝试

试着快速判断以下几个数，哪些是质数，哪些是合数？

$2, \quad 9, \quad 15, \quad 29, \quad 51$

提示：在判断较大的数（如 $51$）时，可以尝试用除法法则，比如“各个数位上的数字之和能被 $3$ 整除，则该数能被 $3$ 整除”。