已知a，b，c都是质数，且满足abc+a=851，则a+b+c的值为 ．

1. 将原等式变形并对常数进行质因数分解以确定 $a$ 的范围

将方程 $abc+a=851$ 因式分解，提取公因数 $a$：
$a(bc+1) = 851$
因为 $a$ 是质数，所以 $a$ 必为 $851$ 的质因数。
对 $851$ 进行质因数分解：
$851 = 23 \times 37$
由于 $23$ 和 $37$ 均为质数，所以 $a$ 的可能取值为 $23$ 或 $37$。

2. 分析 $a = 23$ 的情况

若 $a = 23$，则：
$bc+1 = 37 \implies bc = 36$
因为 $b$ 和 $c$ 都是质数，而 $36 = 2^2 \times 3^2$ 无法写成两个质数的乘积（两个质数的乘积最多只有两个质因数，而 $36$ 含有四个质因数）。
因此，该情况无解。

3. 分析 $a = 37$ 的情况并确定 $b, c$ 的值

若 $a = 37$，则：
$bc+1 = 23 \implies bc = 22$
因为 $b, c$ 都是质数，且 $22 = 2 \times 11$，所以 $b, c$ 的取值分别为 $2$ 和 $11$（或 $11$ 和 $2$）。
由于 $2$ 和 $11$ 均为质数，符合题意。

4. 计算 $a+b+c$ 的最终值

由上述分析，三个质数分别为 $37, 2, 11$。
它们的和为：
$a+b+c = 37 + 2 + 11 = 50$