已知直线$AB$的方程为：$y=kx+m(k≠0,$经过点$A(a,a)$，$B(b,8b)(a>0,b>0)$，当$\dfrac{b}{a}$为整数时，满足条件的整数$k$有$(\quad)$个．

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

1. 将点 $A$ 和点 $B$ 的坐标代入直线方程建立方程组

∵ 直线 $y=kx+m$ 经过点 $A(a,a)$ 和 $B(b,8b)$，
∴ 代入直线解析式可得方程组：
$\begin{cases} ka+m=a \\ kb+m=8b \end{cases}$

2. 用含 $k$ 和 $m$ 的代数式表示 $a$ 和 $b$

由 $\begin{cases} a(1-k)=m \\ b(8-k)=m \end{cases}$，
可解得：
$a = \frac{m}{1-k}$
$b = \frac{m}{8-k}$

3. 计算并化简比值 $\dfrac{b}{a}$

结合上述结果可得：
$\frac{b}{a} = \frac{\frac{m}{8-k}}{\frac{m}{1-k}} = \frac{1-k}{8-k} = \frac{k-1}{k-8}$
进一步将其变形为带分数形式：
$\frac{b}{a} = \frac{k-8+7}{k-8} = 1 + \frac{7}{k-8}$

4. 结合已知条件分类讨论，求出整数 $k$ 的个数

∵ $a>0$，$b>0$，
∴ $\frac{b}{a}$ 必须为正整数。
要使 $1 + \frac{7}{k-8}$ 为正整数，则 $k-8$ 必须是 $7$ 的因数，且满足 $\frac{b}{a} > 0$。
$7$ 的因数有：$\pm 1, \pm 7$。

• 当 $k-8 = 1$ 时，$k = 9$，此时 $\frac{b}{a} = 8 > 0$（满足条件）；
• 当 $k-8 = 7$ 时，$k = 15$，此时 $\frac{b}{a} = 2 > 0$（满足条件）；
• 当 $k-8 = -1$ 时，$k = 7$，此时 $\frac{b}{a} = -6$（不满足 $\frac{b}{a} > 0$，舍去）；
• 当 $k-8 = -7$ 时，$k = 1$，此时 $\frac{b}{a} = 0$（不满足 $b>0 \implies \frac{b}{a} \neq 0$，舍去）。

综上所述，满足条件的整数 $k$ 有 $9$ 和 $15$ 共 $2$ 个。
故选 B。