最大公因数和最小公倍数

什么是“质因数分解”？

在研究最大公因数（HCF）和最小公倍数（LCM）之前，我们需要一把“解剖刀”。

**质因数分解（Prime Factorisation）就是把任何一个大于 1 的合数，拆解为若干个质数（Prime Numbers）**相乘的形式。

这些质数就像是构成数字的“化学元素”或“基因”。

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指数表示法 (Index Notation)

为了书写简明，我们使用指数表示法来整理这些质因数。

以 $360$ 为例，通过逐层分解（如使用树状图或短除法）：
$360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$

写成指数表示法（Index Notation）：
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$

每个质因数的“幂（Power）”代表了它在数字中出现的次数。

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为什么它是 HCF & LCM 的基石？

一旦两个数都被“拆解”成了质因数的标准形式，寻找它们的 HCF 和 LCM 就变成了简单的指数对比游戏：

• 最大公因数 (HCF)：取相同质因数的最低次幂（Lowest Powers）。
• 最小公倍数 (LCM)：取所有出现过的质因数的最高次幂（Highest Powers）。

这是最系统、最不容易出错的方法，特别适合处理大数或代数式。

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思考一个问题

已知两个数分解后的形式为：
$A = 2^3 \times 3^1 \times 5^2$
$B = 2^2 \times 3^2 \times 7^1$

1. 它们公共的质因数有哪些？
2. 试着根据“最低次幂”的原则，写出它们的 $HCF(A, B)$ 表达式。

我们下一张幻灯片见！