已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}{mx+2y=10}\\ {3x-2y=0}\end{cases}$的解中$x$，$y$均为整数，且$m$为正整数，则$m^{2}-1$的值为$(\quad)$

A. $3$或$48$

B. $3$

C. $4$或$49$

D. $48$

1. 消元求解 $x$ 和 $y$ 关于 $m$ 的表达式

已知方程组为：
$\begin{cases} mx+2y=10 \quad① \\ 3x-2y=0 \quad② \end{cases}$

两式相加 ① + ② 得：
$(m+3)x = 10$

解得：
$x = \frac{10}{m+3}$

将 $x$ 代入 ② 得：
$2y = 3x = \frac{30}{m+3} \implies y = \frac{15}{m+3}$

2. 根据整数解及正整数约束确定 $m$ 的值

因为 $x$ 和 $y$ 均为整数，所以 $m+3$ 必须同时是 $10$ 和 $15$ 的因数，即 $m+3$ 是 $10$ 和 $15$ 的公因数。
$10$ 和 $15$ 的公因数有：$\pm 1, \pm 5$。

由于 $m$ 是正整数，则 $m \ge 1$，从而：
$m+3 \ge 4$

在公因数中，满足 $\ge 4$ 的只有 $5$，因此：
$m+3 = 5 \implies m = 2$

将 $m=2$ 代入检验，此时 $x = \frac{10}{5} = 2$ 为整数，$y = \frac{15}{5} = 3$ 为整数，符合题意。

3. 计算最终目标代数式 $m^2-1$ 的值并得出选项

当 $m = 2$ 时，计算 $m^2 - 1$：
$m^2 - 1 = 2^2 - 1 = 3$

因此，选项为 B。