六年级举行了一次英语口语比赛，学校买了81个笔记本和34支钢笔准备奖励4位辅导老师和所有获奖同学，结果笔记本多一个，钢笔多2支，这次竞赛最多有 名同学获奖，每个可得 个笔记本， 支钢笔．（老师和学生的奖品一样）

1. 求出实际分发给老师和同学的笔记本和钢笔的总数

由题意可知，笔记本剩下1个，钢笔剩下2支，因此实际分发下去的：
笔记本数量为：$81 - 1 = 80$（个）；
钢笔数量为：$34 - 2 = 32$（支）。

2. 分析获奖人数、老师人数与奖品数量的整除关系

因为每位老师和学生得到的奖品数量相同，所以分得奖品的人数（老师人数 4 人 + 获奖学生人数）必须是实际分发的笔记本数 80 和钢笔数 32 的公因数。
为了使获奖学生人数最多，总人数也应最多，因此总人数应为 80 和 32 的最大公因数。

3. 求 80 和 32 的最大公因数

利用质因数分解法：
$80 = 2^4 \times 5 = 16 \times 5$
$32 = 2^5 = 16 \times 2$
所以 80 和 32 的最大公因数是：$\gcd(80, 32) = 2^4 = 16$。
即分得奖品的总人数最多为 16 人。

4. 求出最多获奖学生人数以及每人分得的笔记本和钢笔数量

获奖学生人数最多为：$16 - 4 = 12$（名）。
每人可分得笔记本：$80 \div 16 = 5$（个）。
每人可分得钢笔：$32 \div 16 = 2$（支）。