几何体体积与表面积

从二维到三维：柱体的生成

前置知识中，我们学会了计算平面图形的面积（二维）。如果将一个底面积为 $B$ 的平面图形向上沿垂直方向“拉伸”或“无限堆叠”到高度 $h$，就形成了三维的柱体。

• 核心直觉：体积即为底面积在垂直方向上扫过的总空间。
• 通用体积公式：
  $V = \text{底面积} \times \text{高} = B \cdot h$

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长方体的体积与表面积

最经典的柱体是长方体，它的底面是一个长方形（长为 $l$，宽为 $w$），高度为 $h$。

• 体积公式：底面积 $B = l \times w$，代入堆叠公式得：
  $V = l \cdot w \cdot h$
• 表面积公式：长方体由 3 对两两全等的长方形（前/后、左/右、上/下）围成：
  $S = 2(lw + lh + wh)$

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直棱柱的统一计算法则

当底面扩展为任意多边形（如三角形、五边形），只要侧棱垂直于底面，就统称为直棱柱。

• 体积公式（通用）：
  $V = B \cdot h$
• 表面积公式：所有侧面展开后拼成一个长为“底面周长 $P$”、宽为“高 $h$”的大长方形。
  $S_{\text{全面积}} = S_{\text{侧}} + 2S_{\text{底}} = P \cdot h + 2B$

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例题精讲：直三棱柱的体积

题目：一个直三棱柱的底面是直角边长分别为 $3\text{ cm}$ 和 $4\text{ cm}$ 的直角三角形，棱柱的高为 $10\text{ cm}$。求该直三棱柱的体积。

解题步骤：

1. 求底面积 $B$：底面为直角三角形
   $B = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\text{ cm}^2$
2. 求体积 $V$：
   $V = B \cdot h = 6 \times 10 = 60\text{ cm}^3$

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例题精讲：直三棱柱的表面积

题目：（接上页）求该直三棱柱的全面积（表面积）。

解题步骤：
3. 求底面三角形斜边及周长 $P$：由勾股定理，$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ cm}$
$P = 3 + 4 + 5 = 12\text{ cm}$
4. 求全面积 $S$：
$S = P \cdot h + 2B = 12 \times 10 + 2 \times 6 = 120 + 12 = 132\text{ cm}^2$

💡 易错提醒：计算表面积时，千万不要漏算上下两个底面的面积！