水池$A$，$B$，$C$都是长方体，深为$1.6m$，底部尺寸为$3m×4m.1$号阀门$24\min$可将无水$A$池注满；$2$号阀门用来从$A$池向$B$池放水，$30\min$可将$A$池中满池水放入$B$池；$3$号阀门用来从$B$池向$C$池放水，$48\min$可将$B$池中满池水放入$C$池．若开始$A$、$B$、$C$三池无水，同时打开$1$号、$2$号和$3$号阀门，那么当$B$池水深$0.4m$时，$A$池有$(\quad)m^{3}$的水．

A. $1.2$

B. $3.2$

C. $6$

D. $16$

1. 计算水池的满池水体积

水池 $A$、$B$、$C$ 都是相同的长方体，深为 $1.6\text{ m}$，底部尺寸为 $3\text{ m} \times 4\text{ m}$。
根据长方体体积公式，每个水池满池水的体积为：
$V = 1.6 \times 3 \times 4 = 19.2\text{ (m}^3\text{)}$

2. 求出各个阀门的流水速度

根据满池体积与注满或放完水所需的时间，计算各阀门的流速：

• $1$号阀门注水速度为：
  $v_1 = 19.2 \div 24 = 0.8\text{ (m}^3/\min\text{)}$
• $2$号阀门放水速度为：
  $v_2 = 19.2 \div 30 = 0.64\text{ (m}^3/\min\text{)}$
• $3$号阀门放水速度为：
  $v_3 = 19.2 \div 48 = 0.4\text{ (m}^3/\min\text{)}$

3. 求出当 $B$ 池水深达到 $0.4\text{ m}$ 时经历的时间

当 $B$ 池水深为 $0.4\text{ m}$ 时，$B$ 池中水的体积为：
$V_B = 0.4 \times 3 \times 4 = 4.8\text{ (m}^3\text{)}$
设阀门同时打开的时间为 $x\min$，对于 $B$ 池，水从 $2$号阀门流入，从 $3$号阀门流出，净流入速度为 $v_2 - v_3 = 0.64 - 0.4 = 0.24\text{ (m}^3/\min\text{)}$。
根据题意建立方程：
$(0.64 - 0.4)x = 4.8$
解得：
$x = 20$

4. 求出此时 $A$ 池中的积水量

对于 $A$ 池，水从 $1$号阀门流入，从 $2$号阀门流出，净流入速度为 $v_1 - v_2 = 0.8 - 0.64 = 0.16\text{ (m}^3/\min\text{)}$。
在第 $20\min$ 时，$A$ 池中的水量为：
$V_A = 20 \times (0.8 - 0.64) = 3.2\text{ (m}^3\text{)}$
因此，当 $B$ 池水深 $0.4\text{ m}$ 时，$A$ 池有 $3.2\text{ m}^3$ 的水。
对应选项 B。