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空间位置关系

以下各项之间的空间位置关系：(i) 两条直线（共面或异面），(ii) 直线与平面，(iii) 两个平面。

这个知识点的练习题

  1. 1直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 r=(4110)+λ(1−1−6),λ∈R\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -6 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}…
  2. 2一家钻探公司计划在山中铺设一条直管道 ABAB。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于山脚下坐标为 (0,0,0)(0, 0, 0) 的主控制中心定义的，其中单位为米。xx 轴指向东，yy 轴指向北，zz 轴垂直向上。点 AA 的坐标为 (−200,150,10)(-200, 150, 10)…
  3. 3平面 Π1\Pi_1 的方程为 x+y+z=3x + y + z = 3。一条直线穿过点 PP 和 QQ，它们的位置向量分别为 i+j+2k\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} 和 4i+2j−k4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}…
  4. 4平面 Π1\Pi_1 和 Π2\Pi_2 的向量方程分别为 r=λ1(i+j−k)+μ1(2i−j+k)andr=λ2(i+2j+k)+μ2(3i+j−k)\mathbf{r} = \lambda_1(\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}) + \mu_1(2\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}) \quad \text{and} \quad \mathbf{r} = \lambda_2(\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) + \mu_2(3\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k})…
  5. 5一位室内设计师正计划设计一个下拉式衣柜升降机。为了测试他的设想，设计师制作了一个它的微缩模型。在这个模型中，点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于模型的一个拐角 O(0,0,0)O(0, 0, 0) 来定义的。模型中使用的杆可以用直线方程来建模。 主杆可…
  6. 6三个平面 p1p_1、p2p_2 和 p3p_3 的方程分别为 4x+6y−z=32x+5y−2z=1αx−3y+4z=β\begin{aligned} 4x + 6y - z &= 3 \\ 2x + 5y - 2z &= 1 \\ \alpha x - 3y + 4z &= \beta \end{aligned}…
  7. 7下图显示了一个四面体 ABCDABCD。平面 ABDABD 的方程为 4x+y+2z=164x + y + 2z = 16。 已知 AA 在 xx 轴上，求 AA 的坐标。 平面 CBDCBD 的方程为 7x−11y−5z=−237x - 11y - 5z = -23。 求穿过…
  8. 8点 AA 和 BB 的坐标分别为 (0,2,0)(0, 2, 0) 和 (1,0,2)(1, 0, 2)，且平面 π1\pi_1 的方程为 r⋅(221)=4\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 4…
  9. 9为了应对不断增加的 COVID-19 病例，建立了一个临时隔离中心。其屋顶呈三角柱体形状。点 (x,y,z)(x, y, z) 是相对于原点 OO 定义的，其中单位向量 i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 和 k\mathbf{k}…
  10. 10相对于原点 OO，点 AA 和 BB 分别具有非零且不平行的位置向量 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b}。平面 pp 的方程为 r⋅n=0\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = 0。 已知 a⋅n=b⋅n≠0\mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{n} \ne 0…
  11. 11平面 pp 和 qq 互相垂直。平面 pp 的方程为 2x−z=102x - z = 10。平面 qq 包含具有如下方程的直线 ll： r=(5−34)+λ(2−21),\mathbf{r} = \begin{pmatrix}5 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix},…
  12. 12在图中，点 OO 是直角棱锥顶角为 VV、底面为长方形 ABCDABCD 的中心。相互垂直的单位向量 i, j, k 分别平行于 AB, BC, OV。ABAB、BCBC 和 OVOV 的长度分别为 1212 单位、66 单位和 66…
  13. 13分别由方程 2x+y=12x+y=1 和 8x+ay+z=48x+ay+z=4 给出的两个平面 p1p_{1} 和 p2p_{2} 相交于一条直线 LL，该直线包含点 A(0,1,0)A(0,1,0)。 证明 a=4a=4，并由此求直线 LL 的向量方程。 另一个点 BB…
  14. 14平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程分别为 r=(4−13)+s(3−17)+t(1−312)\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}…
  15. 15已知直线mm，nn和平面αα，若n⊥αn⊥α，则“m⊂αm⊂α”是“n⊥mn⊥m”的()() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
  16. 16在一个电脑游戏中，一个斜面可以建模为包含三个点 A(1,0,−3)A(1, 0, -3)、B(1,4,−15)B(1, 4, -15) 和 C(2,3,−14)C(2, 3, -14) 的平面 pp。 证明 pp 的方程为 r⋅(231)=−1\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = -1…
  17. 17平面 pp 通过点 AA、BB 和 CC，它们的坐标分别为 (0,1,1)(0, 1, 1)、(2,−1,4)(2, -1, 4) 和 (−2,−1,0)(-2, -1, 0)。 证明平面 pp 的笛卡尔方程为 2x−y−2z=−32x - y - 2z = -3。 直线 ll…
  18. 18平面 Π\Pi 的方程为 2x−3y+6z=72x-3y+6z=7，直线 ll 的方程为 r=8i−2j+8k+t(3i−j+2k)\mathbf{r}=8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+8\mathbf{k}+t(3\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})…
  19. 19相对于原点 OO，点 PP 和 QQ 的位置向量分别为 4i+4j+3k4\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k} 和 8i+8j−k8\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - \mathbf{k}。 求直线…
  20. 20点 A 的坐标为 (1, -2, 4)，平面 π1\pi_1 的方程为 2x−y+2z=5.2x - y + 2z = 5. 求 A 到 π1\pi_1 的最短距离准确值。 平面 π2\pi_2 的方程为 x+3y−az=3x+3y-az=3，其中 aa 为常数。 用…
  21. 21平面 π1\pi_1 包含点 (2,−2,1)(2,-2,1) 和直线 r=(018)+λ(023),\mathbf{r} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 8\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix},…
  22. 22为了构建虚拟现实（VR）体验，需要创建一个包含几何模型的虚拟世界。以原点 OO 为基准，虚拟世界中的每个点都表示为坐标 (x,y,z)(x, y, z)。透视投影是一种将虚拟世界中的点投影到虚拟屏幕上，同时保持物体在不同距离下的缩放特性的技术。在…
  23. 23四面体 OABCOABC 具有四个三角形面，顶点 OO 位于原点。AA、BB 和 CC 的坐标分别为 (9,0,0)(9, 0, 0)、(0,2,0)(0, 2, 0) 和 (0,0,3)(0, 0, 3)（见图）。 求面 ABCABC 的笛卡尔方程。 求面 ABCABC…
  24. 24直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 x−13=y−2a,z=1与r=(120)+λ(−111),λ∈R\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{a}, z = 1 \quad \text{与} \quad \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}…
  25. 25平面 p 和 q 的方程分别为： r=(2+λ−2μ) i+(−3λ+μ) j+(3−λ+2μ) kr = (2 + \lambda - 2\mu)\,\mathbf{i} + (-3\lambda + \mu)\,\mathbf{j} + (3 - \lambda + 2\mu)\,\mathbf{k}…
  26. 26平面 π1\pi_1 的方程为 r⋅(251)=11.\mathbf{r}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}=11. 平面 π2\pi_2 经过点 A(1,−1,2),  B(2,3,4)A(1,-1,2),\; B(2,3,4) 和…
  27. 27下列条件中，能判定平面α与平面β平行的条件可以是 ．（写出所有正确条件的序号） ①α内有无穷多条直线都与β平行； ②α内的任何一条直线都与β平行； ③直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α； ④a⊥α，b⊥β，a∥b．
  28. 28一个位于水平平坦地面上的机场必须管理飞机从其跑道起飞的飞行航线。这些飞行航线可以假设为直线，飞机可以假设为质点。 在下方图中，标记的点是相对于机场上坐标为 (0,0,0)(0,0,0) 的原点 O 定义的。xx 轴、yy 轴和 zz 轴的方向分…
  29. 29平面 Π1\Pi_1 与 Π2\Pi_2 相交于直线 ll，其向量方程分别为 r=2i+4j+6k+θ1(2i+3k)+ϕ1(−4j+5k),\mathbf{r} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k} + \theta_1(2\mathbf{i} + 3\mathbf{k}) + \phi_1(-4\mathbf{j} + 5\mathbf{k}),…
  30. 30图中显示了一个棱锥 DOABC。取如图所示的单位向量 i, j, k，A, B, C, D 的位置向量分别为 OA→=4i,OB→=4i+2j,OC→=2j,OD→=6k。\overrightarrow{OA} = 4i,\quad \overrightarrow{OB} = 4i + 2j,\quad \overrightarrow{OC} = 2j,\quad \overrightarrow{OD} = 6k。…
  31. 31直线 l1l_1 的向量方程为 r=(a10)+λ(01b), λ∈R,\mathbf{r}=\begin{pmatrix}a\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\1\\b\end{pmatrix},\ \lambda\in\mathbb{R},…
  32. 32平面 p1p_1 和 p2p_2 的方程分别由下式给出 r=s(011)+t(3−12),s,t∈Randr⋅(α3β)=7,\mathbf{r} = s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R} \quad \text{and} \quad \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ 3 \\ \beta \end{pmatrix} = 7,…
  33. 33直线 ll 的方程为 r=i+6j−3k+s(i−2j+2k)。\mathbf{r} = i + 6j - 3k + s(i - 2j + 2k)。 平面 pp 的方程为 (r−3i).(2i−3j+6k)=0。(\mathbf{r} - 3i).(2i - 3j + 6k) = 0。 直线 ll…
  34. 34空间四边形两条对角线所在的直线是___直线．
  35. 35已知EE，FF，GG，HH为空间中的四个点，设命题甲：点EE，FF，GG，HH不共面，命题乙：直线EFEF和GHGH不相交，那么()(\quad) A. 甲是乙的充分条件，但不是必…
  36. 36平面 Π1\Pi_1 经过点 A(1,4,2)A(1,4,2)、 B(1,0,5)\ B(1,0,5) 和 C(0,8,−1)C(0,8,-1)。 求 Π1\Pi_1 的笛卡尔方程。 求点 P(2,1,2)P(2,1,2) 到平面 Π1\Pi_1 的最短距离。 第二个平面 Π2\Pi_2 经…
  37. 37以原点 O 为基准，点 N、P 和 Q 的位置向量分别为 n\mathbf{n}、p\mathbf{p} 和 q\mathbf{q}，且平面 Π\Pi 的方程为 r⋅n=0\mathbf{r}\cdot\mathbf{n}=0。已知 p⋅n=q⋅n≠0\mathbf{p}\cdot\mathbf{n}=\mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\ne 0…
  38. 38设m，n是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若α⊥β，m⊊α，n⊊β，则m⊥n B. 若α∥β，m⊊α，n⊊β，则m∥n C. 若m⊥n，m⊊α，n⊊β，则α⊥β D. 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
  39. 39一名设计师想要建造一个倾斜的屋顶，该屋顶连接在一面垂直的矩形墙壁上，该墙壁位于水平地面上方，如下图所示。假设屋顶和墙壁的厚度均可忽略不计。 点 (x,y,z)(x, y, z) 的定义是相对于墙角 O(0,0,0)O(0,0,0) 而言的，单位为米。单位向量 i\mathbf{i}…
  40. 40两条直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程分别为 x−12=−z−1,y=2\frac{x - 1}{2} = -z - 1, y = 2 与 x+3=4−y=z+2x + 3 = 4 - y = z + 2。 判断 l1l_1 与 l2l_2 是否相交，并写出交点坐标（若有）…
  41. 41平面 p1p_1 的方程为 x−y+z=0x - y + z = 0，平面 p2p_2 的方程为 x+y+z=2x + y + z = 2。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 之间的锐角。 求平面 p1p_1 与 p2p_2 交线的向量方程。 以原点 OO…
  42. 42两个平面 P1P_1 和 P2P_2 的方程分别为 x−2y+3z=4x - 2y + 3z = 4 和 3x+2y−z=43x + 2y - z = 4。 第三个平面 P3P_3 的方程为 5x−ky+6z=15x - ky + 6z = 1，其中 kk 是常数。 平面 P1P_1…
  43. 43梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂面α，CD⊄面α，则直线CD与面α的关系是 ．
  44. 44下列说法不正确的是（ ） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形 B. 同一平面的两条垂线一定共面 C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面…
  45. 45直线 ℓ\ell 的方程为 x−a2=y−2=1−2zb\dfrac{x-a}{2}=y-2=\dfrac{1-2z}{b}，其中 aa 和 bb 为实常数。平面 π\pi 的方程为 3x−y+4z=103x-y+4z=10。 已知直线 ℓ\ell 与平面 π\pi…
  46. 46已知直线l⊥l⊥ 平面aa，直线m⊆m⊆ 平面ββ ，给出下列命题，其中正确的是-------------( ) ①a/ ⁣/β⇒l⊥m②a⊥β⇒l/ ⁣/m③l/ ⁣/m⇒a⊥β④l⊥m⇒a/ ⁣/β①a/\!/ β ⇒ l⊥ m②a⊥ β ⇒ l/\!/ m③l/\!/ m⇒ a⊥ β ④l⊥ m⇒ a/\!/ β …
  47. 47直线 ll 的方程为 x−1−2=y=z+74\frac{x-1}{-2}=y=\frac{z+7}{4}，平面 pp 的方程为 x−z=2x-z=2。 求 ll 与 pp 之间的锐角。 求 ll 与 pp 相交点的坐标。 从坐标为 (1,0,−7)(1,0,-7)…
  48. 48直线 l_1 和 l_2 的方程分别为 r=(2.5kk2k)+λ(131)andr=(30.5k0.5k)+μ(475),  λ,μ∈R\mathbf{r}=\begin{pmatrix}2.5k\\k\\2k\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\quad\text{and}\quad \mathbf{r}=\begin{pmatrix}3\\0.5k\\0.5k\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\7\\5\end{pmatrix},\;\lambda,\mu\in\mathbb{R}…
  49. 49以原点 O 为基准，点 A 的位置向量为 −i−3j+3k-\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}。平面 π\pi 和直线 ll 的方程分别为 r=(421)+λ(−132)+μ(23−4)\mathbf{r} = \begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -4\end{pmatrix}…
  50. 50点 PP 和 QQ 的位置向量分别为 3i+4j−k3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-\mathbf{k} 和 5i+7j+6k5\mathbf{i}+7\mathbf{j}+6\mathbf{k}。 平面 Π\Pi 过点 QQ 且垂直于…
  51. 51玩家在虚拟现实游戏中控制一个角色，其中点 (x,y,z)(x,y,z) 是相对于固定点 OO 定义的。长度单位为米，且我们假设角色在点与点之间沿直线移动。 起初，角色位于坐标为 (−3,4,−1)(-3,4,-1) 的点 AA。角色首先沿着平行于 i−3j\mathbf{i}-3\mathbf{j}…
  52. 52平面 π1\pi_1 和 π2\pi_2 相交于直线 l1l_1，它们的方程分别为 π1:r⋅(2−31)=25 且 π2:x+ky−2z=−15,\pi_1 : \mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = 25 \text{ 且 } \pi_2 : x + ky - 2z = -15,…
  53. 53平面 Π1\Pi_1 和 Π2\Pi_2 的方程分别为 r⋅(i−2j+k)=4\mathbf{r} \cdot (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) = 4 和 r=3i−j+k+λ(−i+j+k)+μ(4i+j)\mathbf{r} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} + \lambda(-\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) + \mu(4\mathbf{i} + \mathbf{j})…
  54. 54一个四面体有四个顶点 O, A, B 和 C，其中 O 为原点。已知 B 的坐标为 (1, 4, 6)，且直线 AB 的方程为 r=i+4j+6k+λ(2i+aj+ak)\mathbf{r} = \mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k} + \lambda(2\mathbf{i} + a\mathbf{j} + a\mathbf{k})…
  55. 55在以原点 OO 为参考点的空间中，点 AA 和点 BB 满足 OA→=a\overrightarrow{OA} = \mathbf{a} 且 OB→=b\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}，其中 a\mathbf{a}…
  56. 56已知 aa 和 bb 为两个非零且不平行的向量，且 c=∣b∣a+∣a∣bc = |b|a + |a|b，证明 cc 在 aa 上的投影长度与 cc 在 bb 上的投影长度大小相等。 直线 l1l_1，平面 π1\pi_1 和 π2\pi_2 的…
  57. 57已知mm，nn为异面直线，m/ ⁣/m/\!/平面αα，n/ ⁣/n/\!/平面ββ，α∩β=lα∩β=l，则l()l(\quad) A. 与mm，nn都相交 B. 与mm，nn中至少有一条相交…
  58. 58已知命题pp：平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆；命题qq：空间内若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行，则下列命题为真命题的是()(\quad) A. p∧qp∧q B. p∨qp\lor q C.…
  59. 59以原点 OO 为基准，点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 3i−j3\mathbf{i} - \mathbf{j}、5i+3j+4k5\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k} 和 2i+αj+2k2\mathbf{i} + \alpha\mathbf{j} + \sqrt{2}\mathbf{k}…
  60. 60一艘护卫舰停泊在位置 F(1,2,0)F(1, 2, 0)。两艘潜艇 S1S_1 和 S2S_2 位于海面以下。潜艇 S1S_1 处于位置 A(−2,−1,−1)A(-2, -1, -1)，并沿着平行于向量 −3i+2j−k-3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}…