已知直线$l⊥$平面$a$，直线$m⊆$平面$β$，给出下列命题，其中正确的是-------------( ) $①a/\!/ β ⇒ l⊥ m②a⊥ β ⇒ l/\!/ m③l/\!/ m⇒ a⊥ β ④l⊥ m⇒ a/\!/ β$

A. $②④$

B. $②③④$

C. $①③$

D. $①②③$

1. 分析命题①的正确性

已知直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$，且 $\alpha \parallel \beta$。
根据“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一个”，可得 $l \perp \beta$。
又因为直线 $m \subseteq$ 平面 $\beta$，根据线面垂直的定义，垂直于平面的直线垂直于该平面内的任意一条直线，所以 $l \perp m$。
因此，命题①正确。

2. 分析命题②的正确性

已知直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$，且 $\alpha \perp \beta$。
由于平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 垂直，垂直于 $\alpha$ 的直线 $l$ 平行于 $\beta$ 或在 $\beta$ 内。
又已知 $m \subseteq \beta$，此时 $l$ 与 $m$ 可以是平行、异面或相交关系，不一定有 $l \parallel m$。
例如，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，平面 $BCC_1B_1 \perp$ 平面 $ABCD$。设 $\alpha = 平面 BCC_1B_1$，$\beta = 平面 ABCD$。
由于 $CD \perp 平面 BCC_1B_1$，取 $l = CD$，则 $l \perp \alpha$。
在 $\beta$（平面 $ABCD$）内取 $m = AD$，此时 $l \perp m$，并不满足 $l \parallel m$。
因此，命题②错误。

3. 分析命题③的正确性

已知直线 $l \parallel m$，且 $l \perp$ 平面 $\alpha$。
根据“平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面”，可得 $m \perp \alpha$。
又因为 $m \subseteq$ 平面 $\beta$，根据面面垂直的判定定理（如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直），可得 $\alpha \perp \beta$。
因此，命题③正确。

4. 分析命题④的正确性

已知直线 $l \perp m$，且 $l \perp$ 平面 $\alpha$。
由此可得 $m \parallel \alpha$ 或 $m \subseteq \alpha$。
已知 $m \subseteq \beta$，此时平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 可以平行，也可以相交。
例如，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，取 $l = DD_1$，则 $l \perp 平面 ABCD$。设 $\alpha = 平面 ABCD$。
取 $m = AB$，显然 $l \perp m$。
设 $\beta = 平面 ABB_1A_1$，满足 $m \subseteq \beta$。
此时 $\alpha \perp \beta$，并不满足 $\alpha \parallel \beta$。
因此，命题④错误。

5. 得出最终结论

综上所述，正确的命题为①和③，对应的选项为 C。