三个平面 $p_1$、$p_2$ 和 $p_3$ 的方程分别为 $$\begin{aligned} 4x + 6y - z &= 3 \\ 2x + 5y - 2z &= 1 \\ \alpha x - 3y + 4z &= \beta \end{aligned}$$ 其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是常数。

1. 将 $\alpha = 5, \beta = 9$ 代入方程组并列出三个平面方程

当 $\alpha = 5, \beta = 9$ 时，三个平面的方程为：

2. 消去未知数 $z$，得到关于 $x$ 和 $y$ 的二元一次方程组

由方程 (1) 得：$z = 4x + 6y - 3$。
将其代入方程 (2)：
$2x + 5y - 2(4x + 6y - 3) = 1 \implies -6x - 7y = -5 \implies 6x + 7y = 5 \quad (4)$
将 $z$ 代入方程 (3)：
$5x - 3y + 4(4x + 6y - 3) = 9 \implies 21x + 21y = 21 \implies x + y = 1 \quad (5)$

3. 求解 $x, y, z$ 并写出交点坐标

由 (5) 得 $y = 1 - x$，代入 (4)：
$6x + 7(1 - x) = 5 \implies -x + 7 = 5 \implies x = 2$
则 $y = 1 - 2 = -1$。
代回 $z$ 的表达式：
$z = 4(2) + 6(-1) - 3 = 8 - 6 - 3 = -1$
因此，三个平面的公共交点坐标为 $(2, -1, -1)$。

1. 求平面 $p_1$ 和 $p_2$ 交线 $L$ 的参数方程

平面 $p_1: 4x + 6y - z = 3$ 和 $p_2: 2x + 5y - 2z = 1$。
用参数 $t$ 表示交线上的点：
设 $y = 6t$，联立 $p_1$ 与 $p_2$ 得：
$6x + 7y = 5 \implies 6x + 42t = 5 \implies x = \frac{5}{6} - 7t$
代入 $z = 4x + 6y - 3$ 得：
$z = 4\left(\frac{5}{6} - 7t\right) + 36t - 3 = \frac{1}{3} + 8t$
因此，交线 $L$ 上任意一点的坐标可表示为：
$\left(\frac{5}{6} - 7t,\, 6t,\, \frac{1}{3} + 8t\right)$

2. 将交线的参数方程代入平面 $p_3$ 的方程中，利用对所有 $t$ 恒成立建立方程

因为交线 $L$ 整个包含在平面 $p_3: \alpha x - 3y + 4z = \beta$ 中，所以交线上任意一点都满足 $p_3$ 的方程：
$\alpha \left(\frac{5}{6} - 7t\right) - 3(6t) + 4\left(\frac{1}{3} + 8t\right) = \beta$
整理上式，按 $t$ 的次方分组：
$t(-7\alpha - 18 + 32) + \left(\frac{5}{6}\alpha + \frac{4}{3} - \beta\right) = 0$
即：
$t(14 - 7\alpha) + \left(\frac{5}{6}\alpha + \frac{4}{3} - \beta\right) = 0$

3. 解出 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值

该等式对任意实数 $t$ 均成立，因此 $t$ 的系数与常数项必须同时为 $0$：
$14 - 7\alpha = 0 \implies \alpha = 2$
$\frac{5}{6}\alpha + \frac{4}{3} - \beta = 0 \implies \frac{5}{6}(2) + \frac{4}{3} - \beta = 0 \implies \frac{5}{3} + \frac{4}{3} - \beta = 0 \implies \beta = 3$
所以，$\alpha = 2, \beta = 3$。