百分比增减

什么是百分比增减？

在日常生活中，我们经常遇到数量的变化：商店打折、商品涨价、人口增长、资产贬值。

这些变化的幅度，我们通常用**百分比（Percentage）**来衡量。

• 百分比增加 (Percentage Increase)：新数值比原始数值大。
• 百分比减少 (Percentage Decrease)：新数值比原始数值小。

核心直觉：将“原始值”视为 $100\%$

无论原始数值是多少，我们都把它作为比较的基准（Base），即 $100\%$。所有的增加或减少，都是在这个 $100\%$ 的基础上进行的。

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乘数法 (Multiplier Method)

在处理百分比增减时，最快速、最不容易出错的方法是乘数法。我们不需要先算出变化了多少，再做加减法，而是直接一步到位求出“新数值”。

$\text{新数值 (New Value)} = \text{最终百分比 (Final Percentage)} \times \text{原始数值 (Original Value)}$

1. 百分比增加的乘数

如果一个量增加了 $x\%$，那么新的量就是原始量的 $(100 + x)\%$：
$\text{Multiplier} = 1 + \frac{x}{100}$

2. 百分比减少的乘数

如果一个量减少了 $y\%$，那么新的量就是原始量的 $(100 - y)\%$：
$\text{Multiplier} = 1 - \frac{y}{100}$

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乘数法的数轴直观演示

通过下面的数轴，我们可以直观地看到：以 $100\%$（原始值）为基准，增加和减少是如何对应到不同的乘数（Multiplier）上的。

• 减少 $30\%$ 相当于保留了原来的 $70\%$，乘数是 $0.7$。
• 增加 $25\%$ 相当于变成了原来的 $125\%$，乘数是 $1.25$。

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直接计算实际增减量

有时题目不要求我们求出“新数值”，而是要求“增加了多少”或“减少了多少”。

这时，我们可以直接用百分比变化量乘以原始值：

$\text{增加量 (Increase)} = \text{上涨百分比 (Percentage Increase)} \times \text{原始数值 (Original Value)}$

$\text{减少量 (Decrease)} = \text{下跌百分比 (Percentage Decrease)} \times \text{原始数值 (Original Value)}$

逆向思维：已知变化量，求百分比

如果已知原始值和变化后的值，如何求百分比变化？
$\text{上涨百分比 (Percentage Increase)} = \frac{\text{增加量 (Increase)}}{\text{原始数值 (Original Value)}} \times 100\%$
$\text{下跌百分比 (Percentage Decrease)} = \frac{\text{减少量 (Decrease)}}{\text{原始数值 (Original Value)}} \times 100\%$

⚠️ 易错点提示：分母永远是原始数值 (Original Value)，而不是变化后的新数值！

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例题精讲

题目

一辆山地自行车的原价为 $\char36{}850$。

1. 在大促期间，商家给予 $15\%$ 的折扣，求折后价格。
2. 促销结束后，商家决定将折后价格调高 $10\%$。求最终的销售价格，并说明为什么最终价格不等于原价。

分步解答

第 1 问：求折后价格

• 分析：折扣 $15\%$ 意味着价格减少了 $15\%$。
• 乘数：$100\% - 15\% = 85\% = 0.85$
• 计算：
  $\text{折后价格} = \$850 \times 0.85 = \$722.50$

第 2 问：求调高 10% 后的最终价格

• 分析：在折后价格 $\char36{}722.50$ 的基础上增加 $10\%$。此时的基准（$100\%$）变成了 $\char36{}722.50$。
• 乘数：$100\% + 10\% = 110\% = 1.1$
• 计算：
  $\text{最终价格} = \$722.50 \times 1.1 = \$794.75$

为什么最终价格不等于原价 $\char36{}850$？

• 点评：因为上涨的 $10\%$ 是基于降低后的价格（$\char36{}722.50$）计算的，其绝对值（$\char36{}72.25$）小于下跌的 $15\%$（基于 $\char36{}850$ 计算，即 $\char36{}127.50$）。基准变了，相同比例代表的实际金额也就变了。

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随堂练习

现在该你尝试了！请运用我们刚刚学到的“乘数法”和“基准概念”来解决以下两个问题：

练习 1

某科技公司去年的员工人数为 $120$ 人。今年因为业务扩张，员工人数增加了 $15\%$。请问该公司今年的员工人数是多少？

练习 2

一只基金的净值从 $\char36{}2.50$ 下跌到了 $\char36{}2.15$。

1. 求该基金净值的下跌百分比（Percentage Decrease）。
2. 如果随后该基金回升了 $10\%$，它能回到原价 $\char36{}2.50$ 吗？请计算说明。