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互斥与独立事件

互斥事件与独立事件。

这个知识点的练习题

  1. 1一位业余作曲家正在编排一段由四个音符和接下来的三个节拍组成的序列。有 7 种可能的音符（标记为 A 到 G）和 5 种可能的节拍（标记为 1 到 5）。音符和节拍的顺序在创作中很重要。求随机选择的序列满足以下条件的概率： 第三个节拍的数字大…
  2. 2已知事件 AA 和 BB 满足 P(B)=13\mathrm{P}(B) = \frac{1}{3}，P(A∣B)=25\mathrm{P}(A|B) = \frac{2}{5} 且 P(A∪B)=35\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{3}{5}。…
  3. 3凯（Kai）和里奥（Leo）两兄弟是定期训练的双项全能（跑步和骑行）运动员。在每一天中，凯骑行的概率为 34\frac{3}{4}，跑步的概率为 35\frac{3}{5}，两者都进行的概率为 pp。 平均而言，里奥在一周的 7 天中有…
  4. 4已知某种特定疾病的感染率约为万分之一（每 10 000 人中约有 1 人感染）。针对该疾病的一项检测准确率为 99.9%，即检测结果与真实情况相符的概率为 99.9%。求在已知某人检测结果呈阳性的条件下，此人确实患有该疾病的概率。 研究人员…
  5. 5对于事件 AA 和 BB，已知 P(A)=0.55\mathrm{P}(A) = 0.55，P(B)=0.65\mathrm{P}(B) = 0.65 且 P(A∪B)=0.93\mathrm{P}(A \cup B) = 0.93。 求 P(A∩B)\mathrm{P}(A \cap B)…
  6. 6对一组 100 名学生进行了调查，询问他们是否是学生领袖、是否参加了体育类课外活动，或者是否在理学院学习。其中，学生领袖有 25 人，参加体育类课外活动的学生有 30 人，在理学院学习的学生有 40 人。有 15 名学生领袖参加了体育类课外…
  7. 7对于事件 AA 和 BB，已知 P(A′)=0.3\mathrm{P}(A') = 0.3 且 P(B)=0.55\mathrm{P}(B) = 0.55。 已知事件 AA 和 BB 相互独立，求 P(A∩B)\mathrm{P}(A \cap B)。 已知事件 AA…
  8. 8已知事件 AA 和 BB 满足 P(A)=0.7P(A)=0.7 且 P(B)=0.8P(B)=0.8。证明 P(A∩B)≥0.5P(A \cap B) \ge 0.5 若 P(A′ ∪ B)=0.85P(A'\ \cup\ B)=0.85，求 P(A∣B)P(A\mid B)。说明并解释 AA 和…
  9. 9设AA，BB为相互独立事件，下列命题中正确的是()(\quad) A. AA与BB是对立事件 B. AA与BB是互斥事件 C. AA与B‾\overline{B}是相互独立事件 D. A‾\overline{A}…
  10. 10B 部分：统计学 [60 分] 已知事件 AA 和 BB 相互独立，证明 A′A' 和 BB 也相互独立。 已知事件 AA 和 BB 相互独立，证明 A′A' 和 BB 也相互独立。 A、BB 和 CC 是事件，使得事件 AA…
  11. 11蒂姆（Tim）玩一个有 3 种结果的游戏，得分分别为 2、5 和 6。相应的概率分别为 27\dfrac{2}{7}、kk 和 47\dfrac{4}{7}，其中 kk 是常数。 蒂姆总共支付 $m 玩两次该游戏。每次游戏的结果是独立…
  12. 12一个店主收到了一批文具，包括笔记本、钢笔和修正带。历史数据表明，1%的笔记本、2%的钢笔和4%的修正带是有缺陷的。笔记本、钢笔和修正带的质量是相互独立的。店主决定将这些文具打包成180个包装出售，每个包装包含一本笔记本、两支钢笔和一卷修正带…
  13. 13在本题中，你应该清楚地写出你所使用的所有分布，以及相应参数的值。 一杯芝士茶由两种原料调制而成：奶盖和茶。调配芝士茶的咖啡师在将奶盖或茶倒入杯中后，不得将其取出。由一名经验丰富的咖啡师制作的一杯芝士茶中，奶盖和茶的量（以 ml 为单…
  14. 14在本题中，你应该清晰地写出所使用的任何分布的相应参数值。 足球的直径服从均值为 22.0 cm、标准差为 0.3 cm 的正态分布，而篮球的直径服从均值为 μ\mu cm、标准差为 0.4 cm 的正态分布。 随机选取的篮球直径比随机选取…
  15. 15对于事件 AA and BB，已知 P(A)=0.38\mathrm{P}(A) = 0.38，P(A∣B)=0.5\mathrm{P}(A \mid B) = 0.5 且 P(A∪B)=0.52\mathrm{P}(A \cup B) = 0.52。 求 P(B)\mathrm{P}(B)…
  16. 16事件 AA、BB 和 CC 满足 P(A)=0.1\mathrm{P}(A) = 0.1、P(B)=0.2\mathrm{P}(B) = 0.2 且 P(C)=c\mathrm{P}(C) = c。AA 和 BB 是独立事件。AA 和 CC 是互斥事件。 写…
  17. 17第二部分：概率与统计 [60分] 若 P(B∣A)=0.2\text{P}(B \mid A) = 0.2，P(A∣B)=0.6\text{P}(A \mid B) = 0.6 且 P(A′∩B′)=0.3\text{P}(A' \cap B') = 0.3，求 P(A∩B)\text{P}(A \cap B)…
  18. 18Pat 获邀参加一个游戏节目。在游戏中，她面前有一个装有 kk 个球的盒子，每个球上都印有 1、2、3 或 4 中的一个数字。摸到印有数字 ii 的球的概率是 ik\frac{i}{k}，其中 i=1,2,3,4i = 1, 2, 3, 4。每次摸出…
  19. 19已知事件 A 和 B 满足 P(A∪B′)=23P(A \cup B') = \frac{2}{3} 且 P(A)=14P(A) = \frac{1}{4}。 求 P(A∣A∪B)P(A \mid A \cup B)。 若事件 A 和 B 独立，求 P(B)P(B)。 若事件 A…
  20. 20抛掷一枚特定硬币时获得正面的概率为 pp。一个均匀的立方体骰子，其一个面写有数字“1”，两个面写有数字“2”，三个面写有数字“3”。 同时抛掷该硬币和骰子。随机变量 XX 定义如下： 如果硬币显示正面，则 X 为骰子点数的三倍。\text{如果硬币显示正面，则 } X \text{ 为骰子点数的三倍。}…
  21. 21在东京奥运会中，甲、乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为p(0<p<1)p(0< p< 1)，乙、丙晋级的概率均为q(0<q<1)q(0< q< 1)，且三人是否晋级相互对立. (1)若甲成功晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、…
  22. 22ECBC 银行呼叫中心话务员平均每小时接听的电话次数正在被评估。 结合背景，指出如果要用泊松分布很好地模拟话务员接听的电话次数，需要作出的两个假设。 该呼叫中心在任何时间点都只有三名话务员。一名负责处理信用卡咨询相关的电话，另一名处理商业银…
  23. 23两个事件 AA 和 BB 满足 P(A)=pP(A)=p 且 P(B)=54pP(B)=\frac{5}{4}p。已知 P(A∪B)=P(A∣B)=0.6P(A\cup B)=P(A\mid B)=0.6。 求 pp 的值。 解释事件 A′A' 和 BB 是否独立。 事件 CC…
  24. 24假设在随机选取的 10 分钟内，到达机场出租车停靠区的 Green Top 出租车和 EZCab 出租车的数量是相互独立的泊松变量，均值分别为 3 和 5。 证明在随机选取的 10 分钟内，至少有 7 辆出租车到达停靠区的概率为 0.687…
  25. 25对于事件 AA、BB 和 CC，已知 P(A)=P(A∩B)=15P(A) = P(A \cap B) = \tfrac{1}{5} 且 P(B)=2P(A)P(B) = 2P(A)。还已知 P(B∩C)=310.P(B \cap C) = \tfrac{3}{10}. 求 P(A∩C)P(A \cap C)…
  26. 26一套共 9 张卡片，分别标有数字 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 和 6。进行一轮配对游戏，每次无放回地随机抽取两张卡片，一次抽一张。当抽出的两张卡片数字相同时，即视为配对成功。 已知两张卡片上的数字之和小于 55，求在一局…
  27. 27两个家庭计划一起去徒步旅行。李家（Lee family）有 10 人，包括 3 对已婚夫妇、3 名单身男性和 1 名单身女性。陈家（Tan family）有 14 人，包括 4 对已婚夫妇、1 名单身男性和 5 单身女性。随机挑选两人来组织…
  28. 28可以假设在随机选择的 10 分钟时间段内，到达机场出租车停靠区的 Green Top 出租车和 EZCab 出租车数量是相互独立的泊松变量，均值分别为 3 和 5。 证明在随机选择的 10 分钟时间段内，至少有 7 辆出租车到达停靠区的概率…
  29. 29一个袋子里装有10个红色和15个绿色的珠子，除颜色外它们无法区分。每次从袋子中随机抽取一个珠子，每次抽取后放回。 计算在第5次抽取或之前获得第一个红色珠子的概率。 已知在前5次抽取中没有获得绿色珠子，计算在第8次抽取中首次获得绿色珠子的概率…
  30. 30一个由25名学生组成的班级有15名女生和10名男生。学年初，将随机挑选4名学生组成临时班委会，包括“主席”、“副主席”、“财务”和“秘书”。求： 恰好选中两名女生的概率， “主席”和“副主席”为异性的概率， 在“财务”和“秘书”为异性的条件…
  31. 31周五晚上，班长给他的 20 位同学发邮件，提议周末一起去观看新上映的动作惊悚片。随机变量 XX 表示该周末对他的邮件给出积极回应的同学人数。 假设 XX 服从分布 B(20,p)B(20,p)，其中 0<p≤0.50 < p \le 0.5。 在每个工作日…
  32. 32在一次实验中，掷两个均匀的 nn 面骰子，每个骰子的面上分别标有数字 1，2，...，nn（其中 n≥4n \ge 4）。每个骰子出现的数字定义为与桌面接触的那个面上的数字。如果两个骰子出现的数字不同，则得分记为两个数字中较大的那…
  33. 33下表显示了一所私立学校中学习化学、物理和生物的男女学生人数。 | | 化学 | 物理 | 生物 | |---|---|---|---| | 男生 | 200 | 130 | 70 | | 女生 | 250 | 300 | 50 | 随机选择…
  34. 34一家信用卡公司设有一条24小时特别服务热线，供客户挂失信用卡或申请调高信用额度。经统计，在任意10分钟的时段内，平均会收到3个挂失信用卡的电话和2个申请调高信用额度的电话。此外，每15分钟平均会收到6个关于其他客户服务（即与挂失信用卡或申请…
  35. 35在某个游戏摊位上，玩家向目标靶投掷飞镖以获得积分来兑换奖品。 目标靶可以建模为三个同心圆，其半径分别为一个单位、三个单位和五个单位。如图所示，如果飞镖落在标记为 50、25 或 0 的相应区域，玩家将分别获得 50…
  36. 36爱丽丝使用计算机程序模拟抛掷一枚非均匀硬币 80 次。令 YY 为表示获得正面朝上次数的随机变量，pp 为获得正面朝上的概率。已知 80+E(Y)=6 Var(Y)。80 + E(Y) = 6\,\mathrm{Var}(Y)。 求 pp 的准确值。 已知前 5…
  37. 37在大减价期间，男士和女士在各自试衣间的等待时间（以分钟为单位）的均值分别为 4.2 和 8.5，标准差分别为 1.6 和 2.2。 商场经理希望确保随机选取的 50 名女士在试衣间的平均等待时间超过 kk 分钟的概率最多为 10%。求…
  38. 38一个袋子里有 4 个红色筹码和 6 个蓝色筹码。从袋中随机无放回地抽取 4 个筹码。 计算满足以下条件的概率： 所有抽取的筹码都是蓝色的， 至少抽到 3 个蓝色筹码， 每种颜色的筹码至少抽到 1 个， 在已知每种颜色的筹码至少抽到 1 个的…
  39. 39在食堂的饮料摊上，既销售热饮也销售冷饮。每分钟售出的热饮数量服从均值为 0.4 的泊松分布。每分钟售出的冷饮数量服从一个独立的、均值为 0.5 的泊松分布。 证明在给定的 5 分钟时间段内，总共售出超过 4 杯饮料的概率为 0.468（保留…
  40. 40说明理由，判断事件“至少抽到 3 个蓝色筹码”与“每种颜色的筹码至少抽到 1 个”是否相互独立。
  41. 41设事件AA，BB相互独立，P(A)=0.6P\left(A\right)=0.6，P(B)=0.3P\left(B\right)=0.3，则P(AB‾∪A‾B)=()P(A\overline{B}∪\overline{A}B)=(\quad) A. 0.36                             0.36\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  42. 42某工厂生产大量各种颜色的筹码，并将它们装入盒子中。每个盒子包含 36 个随机选择的筹码。平均而言，有 30% 的筹码是黄色的。你可以假设一个盒子中黄色筹码的数量服从二项分布。 75 个随机选择的盒子被装入一个纸箱中用于运输。 发现一个随机选…
  43. 43一个 6 面骰子有三个面标有 '1'，两个面标有 '2'，一个面标有 '3'。另一个 6 面骰子有一个面标有 '1'，两个面标有 '2'，三个面标有 '3'。在一场游戏中，玩家同时掷这两个骰子。 - 如果朝上的数字相同，则从装有 3 张蓝色…
  44. 44在一场有大量选手参加的 10 公里赛跑中，完赛时间服从正态分布。40 分钟后，有 10% 的选手完成了比赛。1 小时后，仍有 35% 的选手尚未完赛。最先完赛的前 20% 的选手将获得奖牌。 证明选手的跑步时间的均值为 55.4 分钟，标准…
  45. 45一组100名学生被询问他们是否是学生领袖、是否参加了体育CCA，或者是否在理学院学习。学生领袖的人数为25人，参加体育CCA的人数为30人，在理学院学习的人数为40人。有15名学生领袖参加了体育CCA。既是学生领袖、参加了体育CCA又在理学…
  46. 46在一个游戏中，玩家投掷一枚各个面分别标有 1 到 6 的均匀骰子。如果玩家掷出 6，他将投掷第二次，在这种情况下，他的得分是 6 与第二次掷出数字之差的绝对值。否则，他的得分就是第一次掷出的数字。设玩家的得分为 XX。 证明 P(X=1)=736\mathrm{P}(X = 1) = \tfrac{7}{36}…
  47. 47一个密码由 10 个字符组成。 密码的前 5 个字符由从集合 {A,B,C,D,E,F,G,H}\{A, B, C, D, E, F, G, H\} 中选择的 5 个字母组成，密码的后 5 个字符由从集合 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0\}…
  48. 48一家餐馆在店庆促销活动中免费赠送汉堡。总共将送出 80 个汉堡，包含 8 种不同的口味，每种口味 10 个。汉堡将被随机选中并每次送出一个。在这 8 种汉堡口味中，“咖喱”（Curry）和“香辣”（Spicy）汉堡最受顾客欢迎。在前四个送出…
  49. 49已知某种特定疾病在每 10,000 人中大约会感染 1 人。针对这种疾病的检测准确率为 99.9%，即检测结果有 99.9% 的时间与真实结果相符。求一个人在检测结果呈阳性的条件下，确实患有该疾病的概率。 研究人员正在调查戴口罩是否有助于减…
  50. 50申请帝国大学（Kingdom University）和海岛大学（Island University）的学生需要使用他们的国家考试成绩进行申请。两所大学意向申请者的成绩可以用独立的正态分布来建模，其均值和标准差如下表所示。 | | 平均成绩…
  51. 51将 3×33 \times 3 方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的 4 个灰白双色方块之一嵌入。有一个大灰色菱形将出现在某个 2×22 \times 2 子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如下图右侧所示。 A. 11024\frac{1}{1024}…
  52. 52从包含10个数字的集合 {0, 1, 2, . . . , 9} 中独立且随机地选择两个数字 XX 和 YY。事件 AA 和 BB 定义如下： A：X=Y+1X = Y + 1。 B：XX 和 YY 都小于 6。 求： P(A)。 P…
  53. 53已知事件 AA、BB 和 CC 满足 P(A)=0.8P(A)=0.8，P(B)=0.2P(B)=0.2 且 P(C)=0.6P(C)=0.6。此外还已知 P(A∩B)=P(B)P(A\cap B)=P(B) 且 P(B∩C)=0.1P(B\cap C)=0.1。 求以下各项的最大可能值和最小可能值的精…
  54. 54

    第二部分：概率与统计 [60 分] 对于事件 AA 和 BB，已知 P(B′)=0.51\mathrm{P}(B') = 0.51 且 P(A′∩B′)=0.15\mathrm{P}(A' \cap B') = 0.15。 求 P(A∩B′)\mathrm{P}(A \cap B')…

  55. 55在本题中，你应该写出你所使用的任何分布的参数。 为了规范付费会员对健身房设施的使用，某健身房提供了一项指南，规定每位付费会员每次使用的最大时间为 90 分钟。然而，健身房的记录显示，其付费会员的使用时间 XX（分钟）服从分布 N(95,σ2)\text{N}(95, \sigma^2)…
  56. 56在任意一个月内，南北（NS）线发生铁路事故的平均次数为 mm。事故之间相互独立发生，并且由于技术故障导致铁路事故发生的概率由 pp 给出。已知在任意一周内，南北线发生至少一次铁路事故的概率为 0.25。一周被视为一个月的四分之一。 求…
  57. 57事件 AA 和 BB 满足 P(A)=a\text{P}(A) = a 且 P(B)=b\text{P}(B) = b。 AA 和 BB 是互斥事件。 求 P(A′∩B′)\text{P}(A' \cap B') 的表达式。 画一个韦恩图来阐明 A′A' 和…
  58. 58某公司生产陶瓷花瓶。每天会对固定数量的随机抽取花瓶进行检验，每天发现的缺陷花瓶数量记为 XX。 结合上下文，写出使 XX 能很好地用二项分布建模所需的两个假设。 现在假设 XX 服从分布 B(30,0.04)\mathrm{B}(30,0.04)。…
  59. 59美国国家航空航天局（NASA）收集了航天飞机发射的数据并发布在其网站上。下表显示了 1981 年 4 月至 2011 年 7 月期间 135 次任务中每一次的机组人员人数的频数分布。 设随机变量 CC 表示在 1981 年 4 月至 20…
  60. 60一个袋子里装有 10 个红珠子 and 15 个绿珠子，它们除颜色外完全相同。从袋中随机逐个摸出珠子，每次摸完后放回。 计算在第 5 次（含）或第 5 次之前摸到第一个红珠子的概率。 已知在前 5 次摸珠中没有摸到绿珠子，求在第 8 次摸珠…