在东京奥运会中，甲、乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为$p(0< p< 1)$，乙、丙晋级的概率均为$q(0< q< 1)$，且三人是否晋级相互对立. (1)若甲成功晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求$p$，$q$； (2)若$p=\dfrac{1}{2}$，记三个人中成功晋级的人数为$ξ$，若$ξ=0$时和$ξ=3$时的概率相等，求$E(ξ).$

1. 根据题意建立关于 $p, q$ 的方程组

根据题意，乙、丙两人均没有晋级的概率为 $(1-q)^2$；
乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率为 $C_2^1 q(1-q) = 2q(1-q)$。
根据甲成功晋级的概率与这两者均相等，可得方程组：
$\begin{cases} p = (1-q)^2 \\ p = 2q(1-q) \end{cases}$

2. 求解方程组并检验 $p, q$ 的取值范围

由方程组得：
$(1-q)^2 = 2q(1-q)$
因为 $0 < q < 1$，所以 $1-q \neq 0$。方程两边同除以 $1-q$ 得：
$1-q = 2q \implies 3q = 1 \implies q = \dfrac{1}{3}$
将 $q = \dfrac{1}{3}$ 代入 $p = (1-q)^2$ 中，得：
$p = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$
经检验，$p = \dfrac{4}{9}, q = \dfrac{1}{3}$ 均在区间 $(0, 1)$ 内，符合题意。

1. 由 $P(\xi=0) = P(\xi=3)$ 建立方程求出 $q$ 的值

若 $p = \dfrac{1}{2}$，成功晋级的人数 $\xi$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$。
其中，$\xi=0$ 表示三人均没有晋级：
$P(\xi=0) = (1-p)(1-q)^2 = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right)(1-q)^2 = \dfrac{1}{2}(1-q)^2$
$\xi=3$ 表示三人全部晋级：
$P(\xi=3) = p q^2 = \dfrac{1}{2}q^2$
由 $P(\xi=0) = P(\xi=3)$ 得：
$\dfrac{1}{2}(1-q)^2 = \dfrac{1}{2}q^2 \implies (1-q)^2 = q^2$
因为 $0 < q < 1$，所以有 $1-q = q \implies q = \dfrac{1}{2}$。

2. 识别分布列类型并求其数学期望

因为 $p = \dfrac{1}{2}$ 且 $q = \dfrac{1}{2}$，所以三人成功晋级的概率均为 $\dfrac{1}{2}$，且三人是否晋级相互独立。
因此，晋级人数 $\xi$ 服从二项分布，即 $\xi \sim B\left(3, \dfrac{1}{2}\right)$。
故其数学期望为：
$E(\xi) = n \cdot P = 3 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$
（注：亦可通过列出分布列后利用公式 $E(\xi) = \sum x_i p_i$ 计算，结果相同）。