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二项分布

作为离散概率分布示例的二项分布 B(n,p)\mathrm{B}(n,p) 的概念，以及将 B(n,p)\mathrm{B}(n,p) 用作概率模型（包括二项分布适用模型的条件）。

这个知识点的练习题

  1. 1凯（Kai）和里奥（Leo）两兄弟是定期训练的双项全能（跑步和骑行）运动员。在每一天中，凯骑行的概率为 34\frac{3}{4}，跑步的概率为 35\frac{3}{5}，两者都进行的概率为 pp。 平均而言，里奥在一周的 7 天中有…
  2. 2在每年举行的一次标准化评估测试中，结果发现，平均每 5 名参加测试的学生中就有 1 名获得优秀（distinction）。 此外还发现，平均有 93% 的参加测试的学生通过了测试。 在 23 名参加测试的学生中，求预计获得优秀的学生人数。…
  3. 3一位水果商从一家拥有大型种植园的供应商处采购橙子，该种植园中 1% 的橙子是腐烂的。该供应商在采摘橙子时不考虑橙子是否腐烂，并随机地将 20 个橙子装入每个箱子中。 随机变量 XX 表示随机选择的箱子中腐烂橙子的数量。结合具体情境，陈述…
  4. 4一家信用卡公司有一条专门的 24 小时电话热线，供客户报告信用卡遗失或申请提高信用额度。结果发现，在任何 10 分钟的期间内，平均会收到三个报告信用卡遗失的电话和两个申请提高信用额度的电话。此外，每 15 分钟平均会收到六个关于其他客户服务…
  5. 5截至2022年底，某一群体中接种过 VV 剂新冠疫苗的人数百分比如下表所示，其中没有人接种5剂或更多剂疫苗。 李先生正在进行一项关于人们对新冠疫苗看法的调查。 [续] 现在假设这些假设确实成立。 已知 E(V)=2.72E(V)=2.72，求 Var(V)\mathrm{Var}(V)…
  6. 6一个店主收到了一批文具，包括笔记本、钢笔和修正带。历史数据表明，1%的笔记本、2%的钢笔和4%的修正带是有缺陷的。笔记本、钢笔和修正带的质量是相互独立的。店主决定将这些文具打包成180个包装出售，每个包装包含一本笔记本、两支钢笔和一卷修正带…
  7. 7在本题中，你应该清楚地写出你所使用的所有分布，以及相应参数的值。 一杯芝士茶由两种原料调制而成：奶盖和茶。调配芝士茶的咖啡师在将奶盖或茶倒入杯中后，不得将其取出。由一名经验丰富的咖啡师制作的一杯芝士茶中，奶盖和茶的量（以 ml 为单…
  8. 8在每一大批 SIM 卡中，有 15% 的卡是有缺陷的。从每批中随机抽取 10 张卡作为样本进行检查。 指出样本中有缺陷的 SIM 卡数量所服从的分布。写出一个使所述分布成立的假设。 A batch is labeled as 'good'…
  9. 9当李老师在周末给他的任何一个学生发短信时，平均每 10 次中大约有 6 次会收到回复。在一个特定的周末，李老师给 25 个学生发了短信。 结合本题的情境，陈述用二项分布对收到回复的学生人数进行建模所需的两个假设。 解释为什么在第 (i) 部…
  10. 10Pat 获邀参加一个游戏节目。在游戏中，她面前有一个装有 kk 个球的盒子，每个球上都印有 1、2、3 或 4 中的一个数字。摸到印有数字 ii 的球的概率是 ik\frac{i}{k}，其中 i=1,2,3,4i = 1, 2, 3, 4。每次摸出…
  11. 11平均而言，约翰在任何给定的 30 分钟时间段内，手机收到至少一条简讯（SMS）的概率为 0.95。一个上学日由 14 个这样的 30 分钟时间段组成。约翰收到至少一条简讯的时间段数量为随机变量 XX。 在此背景下，陈述将 XX 建模为二…
  12. 12在本题中，你应该写明你所使用的任何分布的参数。 一个果园销售两种品种的奇异果：A型和B型。A型和B型奇异果的质量（以克为单位）分别服从分布 N(110,62)N(110,6^2) 和 N(85,82)N(85,8^2)。假设这两个分布是相互独立的。 奇异果被随机选择…
  13. 13某品牌薯片以每箱 60 包的规格运送到超市。平均而言，每箱有 1.8 包薯片净重不足。随机选择的一箱中净重不足的薯片包数是随机变量 XX。 假设 XX 服从二项分布。 使用适当的近似方法，求随机选择的两箱薯片中包含超过 6 包净重不足薯…
  14. 14随机变量 XX 服从均值为 μ\mu、方差为 σ2\sigma^2 的正态分布。 求 P(X>μ+0.05σ)\mathrm{P}(X > \mu + 0.05\sigma)。 对 XX 进行 nn 次独立观测得到的随机样本的均值记为 X‾\overline{X}…
  15. 15抛掷一枚特定硬币时获得正面的概率为 pp。一个均匀的立方体骰子，其一个面写有数字“1”，两个面写有数字“2”，三个面写有数字“3”。 同时抛掷该硬币和骰子。随机变量 XX 定义如下： 如果硬币显示正面，则 X 为骰子点数的三倍。\text{如果硬币显示正面，则 } X \text{ 为骰子点数的三倍。}…
  16. 16进行一个掷四面体骰子的游戏。骰子的四个面分别标有数字 1、2、3、4。无论骰子着地时朝下的面是什么数字，就投掷相应数量的均匀硬币。玩家的最终得分 XX 是硬币正面朝上的数量。 确定 XX 的概率分布表。 求 E(X)\text{E}(X)…
  17. 17一家面包店生产成批的曲奇。平均而言，生产的有缺陷曲奇的比例为 pp，其中 0<p<10 < p < 1。这些曲奇每 20 个装一盒。一盒曲奇中有缺陷的曲奇数量记为 CC。 结合上下文，陈述一个使一盒中有缺陷的曲奇数量能很好地用二项分布建模所需…
  18. 18在东京奥运会中，甲、乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为p(0<p<1)p(0< p< 1)，乙、丙晋级的概率均为q(0<q<1)q(0< q< 1)，且三人是否晋级相互对立. (1)若甲成功晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、…
  19. 19一家苗圃向长青私人有限公司（Evergreen Pte. Ltd.）供应植物。所供应植物的高度（以厘米为单位）可以认为服从分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^{2})。 多年来，长青公司因植物太矮退回了 6% 的供应植物，因太高退回了 4%…
  20. 20一家工厂生产长方形白色大理石地板砖。地板砖的长度（单位：厘米）可以看作是一个均值为 18.9、标准差为 0.3 的正态随机变量。地板砖的宽度（单位：厘米）可以看作是一个独立的正态随机变量，均值为 8.9，标准差为 0.1。求随机抽取的十块地…
  21. 21周五晚上，班长给他的 20 位同学发邮件，提议周末一起去观看新上映的动作惊悚片。随机变量 XX 表示该周末对他的邮件给出积极回应的同学人数。 假设 XX 服从分布 B(20,p)B(20,p)，其中 0<p≤0.50 < p \le 0.5。 在每个工作日…
  22. 22一名警察在路障检查中会检查他拦截的车辆中的每位乘客。随机拦截的车辆中的乘客人数是一个随机变量 XX。XX 的概率分布如下表所示。 | xx | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---|…
  23. 23一家信用卡公司设有一条24小时特别服务热线，供客户挂失信用卡或申请调高信用额度。经统计，在任意10分钟的时段内，平均会收到3个挂失信用卡的电话和2个申请调高信用额度的电话。此外，每15分钟平均会收到6个关于其他客户服务（即与挂失信用卡或申请…
  24. 24一家小公司生产高脚杯。每天随机抽取 nn 只高脚杯进行检查，发现有裂纹的高脚杯数量记为 XX。 现在假设 XX 服从分布 B(n,p)B(n,p)，其中 n≥3n \ge 3。 结合问题背景，阐述将 XX 很好地建模为二项分布所需的两个假设。…
  25. 25绿地工厂（Green Earth Factory）生产太阳能电池板。平均而言，生产的太阳能电池板中有 2% 被发现存有缺陷。太阳能电池板以每批 10 块的形式包装。 已知每批缺陷太阳能电池板的数量服从二项分布。 结合太阳能电池板生产的背景，…
  26. 26爱丽丝使用计算机程序模拟抛掷一枚非均匀硬币 80 次。令 YY 为表示获得正面朝上次数的随机变量，pp 为获得正面朝上的概率。已知 80+E(Y)=6 Var(Y)。80 + E(Y) = 6\,\mathrm{Var}(Y)。 求 pp 的准确值。 已知前 5…
  27. 27在大减价期间，男士和女士在各自试衣间的等待时间（以分钟为单位）的均值分别为 4.2 和 8.5，标准差分别为 1.6 和 2.2。 商场经理希望确保随机选取的 50 名女士在试衣间的平均等待时间超过 kk 分钟的概率最多为 10%。求…
  28. 28在这道题中，你应该说明你所使用的任何分布的参数。 当地的一个鱼市因其销售的两种鱼而闻名。可以假设每种鱼的质量（单位：kg）服从独立的正态分布，其均值和标准差如下表所示。 在特定的一天，陈太太带了 $50 到鱼市买鱼。红鲷鱼（Snapper…
  29. 29在食堂的饮料摊上，既销售热饮也销售冷饮。每分钟售出的热饮数量服从均值为 0.4 的泊松分布。每分钟售出的冷饮数量服从一个独立的、均值为 0.5 的泊松分布。 证明在给定的 5 分钟时间段内，总共售出超过 4 杯饮料的概率为 0.468（保留…
  30. 30在一个周五晚上，班长给他的 20 名同学发送了电子邮件，提议周末一起去观看一部新上映的动作惊悚片。随机变量 X 表示那个周末对他的邮件给予积极回复的同学人数。 假设 X 服从二项分布 B(20,p)B(20,p)，其中 0<p≤0.50 < p \le 0.5…
  31. 31已知随机变量X～B(2,p)X～B(2,p)、Y～N(2,σ2)Y～N(2,σ^{2})，若P(X⩾1)=0.36P(X\geqslant 1)=0.36，P(0<Y<2)=pP(0< Y< 2)=p，则(Y>4)=()(Y>4)=(\quad) A. 0.10.1 B. 0.20.2…
  32. 32某工厂生产大量各种颜色的筹码，并将它们装入盒子中。每个盒子包含 36 个随机选择的筹码。平均而言，有 30% 的筹码是黄色的。你可以假设一个盒子中黄色筹码的数量服从二项分布。 75 个随机选择的盒子被装入一个纸箱中用于运输。 发现一个随机选…
  33. 33一个非均匀的正四面体骰子，其四个面上分别标有数字 1 到 4，每个面上印有一个数字。投掷该骰子，设随机变量 XX 表示骰子着地那一面上的数字。XX 的概率分布如下表所示。 | xx | 1 | 2 | 3 | 4 | | :---:…
  34. 34一个骰子是有偏差的，且已知掷出六点的概率 pp 小于 16\frac{1}{6}。一项实验记录了投掷该骰子 25 次中出现六点的次数。在大量实验中，出现六点次数的标准差为 1.5。 证明 pp 的值为 110\frac{1}{10}。由此…
  35. 35在一场有大量选手参加的 10 公里赛跑中，完赛时间服从正态分布。40 分钟后，有 10% 的选手完成了比赛。1 小时后，仍有 35% 的选手尚未完赛。最先完赛的前 20% 的选手将获得奖牌。 证明选手的跑步时间的均值为 55.4 分钟，标准…
  36. 36一家制造公司生产医用口罩。这些医用口罩被随机装入每盒 50 个的包装盒中。平均而言，有 15% 的医用口罩是有缺陷的。一盒 50 个口罩中缺陷口罩的数量记为 XX。 (i) 结合具体情境，陈述将一盒中缺陷医用口罩的数量用二项分布很好地进行…
  37. 37在一个小镇上，有两家诊所，李氏诊所（Lee's Clinic）和希望诊所（Hope Clinic）。在李氏诊所，患者的等待时间服从均值为 25 分钟、标准差为 8 分钟的正态分布。希望诊所患者的等待时间服从均值为 37 分钟、标准差为 4…
  38. 38有一批谷类种子，如果每11粒种子发芽的概率为12\dfrac{1}{2}，那么插下33粒种子恰有22粒发芽的概率是()(\quad) A. 38\dfrac{3}{8} B. 14\dfrac{1}{4}…
  39. 39某公司生产的科学计算器平均每 40 台中有一台是有故障的。一家教育用品店的经理决定向该公司订购 nn 台科学计算器。随机选择一台科学计算器是有故障的这一事件与随机选择另一台计算器是否有故障是相互独立的。 这些有故障的科学计算器的数量用随机…
  40. 40Good Papa 咖啡馆只出售两种玛芬蛋糕：巧克力和香蕉。在随机选择的一小时内，售出的巧克力玛芬数量和香蕉玛芬数量分别服从均值为 3 和 λ\lambda 的独立泊松分布。 已知在特定的一小时内，售出 2 个玛芬蛋糕的概率与售出 4 个…
  41. 41为了保持图书馆图书的良好状态，任何多于 7 处瑕疵的图书都将被捐赠出去。参考书区每本书的平均瑕疵数为 3。参考书中的瑕疵数量是随机变量 RR。 在本题情境下，陈述将 RR 建模为泊松分布所需的两个假设。 求一本参考书被捐赠出去的概率。…
  42. 42Serene 玩一个简单的在线游戏，该游戏每次将一个棋子沿着直线移动一步。棋子从点 S 开始。在每轮中，棋子有 35\frac{3}{5} 的概率向前移动一步，或者有 25\frac{2}{5} 的概率向后移动一步。在线游戏在 10 轮后结…
  43. 43在一个游戏中，玩家投掷一枚各个面分别标有 1 到 6 的均匀骰子。如果玩家掷出 6，他将投掷第二次，在这种情况下，他的得分是 6 与第二次掷出数字之差的绝对值。否则，他的得分就是第一次掷出的数字。设玩家的得分为 XX。 证明 P(X=1)=736\mathrm{P}(X = 1) = \tfrac{7}{36}…
  44. 44一家商店出售袋装苹果，每袋装有 12 个苹果。每袋中未成熟苹果的平均数量为 2.16。 写出将每袋中未成熟苹果的数量很好地建模为二项分布所需的两个假设。 如果一袋苹果中未成熟的苹果数量超过 3 个，则该袋苹果将降价出售。 求随机选择的一袋苹…
  45. 45Epple公司生产大量的E-phone。已知生产的E-phone中有 1% 是次品。 随机抽取了 10 部 E-phone 作为样本。求其中至少有 1 部但少于 3 部是次品的概率。 又随机抽取了另一个包含 10 部 E-phone 的样本…
  46. 46一个密码由 10 个字符组成。 密码的前 5 个字符由从集合 {A,B,C,D,E,F,G,H}\{A, B, C, D, E, F, G, H\} 中选择的 5 个字母组成，密码的后 5 个字符由从集合 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0\}…
  47. 47一袋中有55个白球，33个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现1010次时停止，设停止时共取了ξξ次球，则P(ξ=12)P(ξ=12)等于()() A. C1210(38)10⋅(58)2C_{12}^{10}( \dfrac {3}{8})^{10}⋅( \dfrac {5}{8})^{2}…
  48. 48在本题中，你应该清晰地写出你使用的所有分布，以及相应参数的值。 当地的一家超市销售两种土豆：褐土豆（Russet potatoes）和荷兰土豆（Holland potatoes）。褐土豆的质量（以克为单位）服从分布 N(200,302)\mathrm{N}(200, 30^2)…
  49. 49在一所初级学院（Junior College）中，体育（PE）部门正在分析两个年级 C1 和 C2 的女生完成 2.4 公里跑步测试所用的时间。 随机挑选的一名 C1 女生完成 2.4 公里跑步测试所需的时间（以分钟为单位）服从均值为 14…
  50. 50巧克力工厂生产的每一批夹心巧克力中，都以16个为一盒进行包装。由于关于糖分含量的新健康指南，实施了质量控制测试，结果表明，平均而言，糖分含量超过推荐标准的巧克力比例为 pp。一盒中糖分含量超过推荐标准的巧克力数量记为 XX。 在该问题的…
  51. 51在一条特定的步道上测得的电动滑板车速度（XX km/h）和行人速度（YY km/h）服从正态分布，其均值和方差如下： 写出 μ\mu 的值并求出 σ\sigma 的值。 已知测得的电动滑板车中有一半的速度与均值的差在 aa km/…
  52. 52在某所学生人数众多的学校中，有 p%p\%（其中 p>40p > 40）的学生学习 H2 生物。 在 40 名学生的随机样本中，学习 H2 生物的人数不少于 9 且不多于 20 的概率为 0.25。求 pp 的值。 已知 p=60p = 60。一…
  53. 53在本题中，你应该写出你所使用的任何分布的参数。 一个果园销售两种品种的奇异果：AA 型和 BB 型。AA 型和 BB 型奇异果的质量（以克为单位）分别服从分布 N(110,62)\mathrm{N}(110, 6^2) 和 N(85,82)\mathrm{N}(85, 8^2)…
  54. 54在本题中，你应该写出你所使用的任何分布的参数。 为了规范付费会员对健身房设施的使用，某健身房提供了一项指南，规定每位付费会员每次使用的最大时间为 90 分钟。然而，健身房的记录显示，其付费会员的使用时间 XX（分钟）服从分布 N(95,σ2)\text{N}(95, \sigma^2)…
  55. 55在任意一个月内，南北（NS）线发生铁路事故的平均次数为 mm。事故之间相互独立发生，并且由于技术故障导致铁路事故发生的概率由 pp 给出。已知在任意一周内，南北线发生至少一次铁路事故的概率为 0.25。一周被视为一个月的四分之一。 求…
  56. 56爱明和舒婷在玩一个电脑游戏，她们各自向目标射击。对于每次射击，两人击中目标的概率均为 0.25，且独立于两人的所有其他射击，并且她们对目标的尝试次数相同。求： 在尝试的 20 次射击中，爱明最可能击中目标的次数， 在尝试的 20 次射击中，…
  57. 57某公司生产陶瓷花瓶。每天会对固定数量的随机抽取花瓶进行检验，每天发现的缺陷花瓶数量记为 XX。 结合上下文，写出使 XX 能很好地用二项分布建模所需的两个假设。 现在假设 XX 服从分布 B(30,0.04)\mathrm{B}(30,0.04)。…
  58. 58袋子中装有 6 个红圆盘、6 个绿圆盘、6 个黄圆盘和 6 个蓝圆盘。除颜色外，这些圆盘没有任何区别。从袋中不放回地依次取出 4 个圆盘。随机变量 XX 表示这 4 个圆盘中所含不同颜色的数量。 证明 P(X=2)=frac4651771P(X = 2) = \\frac{465}{1771}…
  59. 59在一个游戏中，玩家从一个装有四个分别标有“1”、“1”、“2”和“3”的球的袋子中随机选择一个球。玩家记录所选球上的数字，然后投掷该数字个均匀对称的硬币。得到的正面朝上的硬币个数记为 XX，其概率分布如下： | xx | 0 | 1 |…