设$A$，$B$为相互独立事件，下列命题中正确的是$(\quad)$

A. $A$与$B$是对立事件

B. $A$与$B$是互斥事件

C. $A$与$\overline{B}$是相互独立事件

D. $\overline{A}$与$\overline{B}$不相互独立

1. 分析 A 和 B 选项，辨析独立事件与互斥、对立事件的关系

由题意，设 $A$，$B$ 为相互独立事件，即一个事件是否发生不影响另一个事件发生的概率。
而对立事件与互斥事件属于事件间的互斥关系，即两个事件不能同时发生。
若 $P(A) > 0$ 且 $P(B) > 0$，由于 $A$ 与 $B$ 相互独立，有 $P(AB) = P(A)P(B) > 0$，说明两个事件可以同时发生，故它们一定不是互斥事件，更不可能是对立事件。
因此 A、B 错误。

2. 分析 C 和 D 选项，推导事件的对立事件的独立性关系

根据相互独立事件的性质：
若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $A$ 与 $\overline{B}$、$\overline{A}$ 与 $B$、$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也都是相互独立事件。
下面予以证明：
因为 $A = AB \cup A\overline{B}$，且 $AB$ 与 $A\overline{B}$ 互斥，
所以 $P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$。
又因为 $A$ 与 $B$ 相互独立，故 $P(AB) = P(A)P(B)$，
代入得 $P(A\overline{B}) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(\overline{B})$，
所以 $A$ 与 $\overline{B}$ 相互独立。同理可证 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 相互独立。
因此，C 选项中“$A$ 与 $\overline{B}$ 是相互独立事件”正确，D 选项中“$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 不相互独立”错误。

3. 得出最终结论

综上所述，正确的命题为 C 选项。