正比例

什么是“正比例”？

在日常生活中，我们经常遇到两种量一起变大或一起变小的情况。但仅仅“同增同减”还不够，数学上的正比例 (Direct Proportion) 有着更严格的特征。

• 核心直觉：如果一个量变倍数，另一个量也按完全相同的倍数变化。
• 等比关系：这两个量的比值（Ratio）始终保持不变（为一个常数）。
• 常见场景：
  • 货币兑换：用新加坡元（SGD）兑换令吉（MYR），新币翻倍，换回的令吉也翻倍。
  • 汽车油耗：在路况相同的情况下，行驶里程翻倍，消耗的汽油量也翻倍。
  • 按重计价：购买同一种水果，重量是原来的 $3$ 倍，总价也是原来的 $3$ 倍。

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场景一：货币兑换中的“恒定比值”

假设 $1\text{ SGD}$ 可以兑换 $3.5\text{ MYR}$。我们来看看不同金额的兑换情况：

1</text> <rect x="240" y="20" width="60" height="30" rx="5" fill="#4A90E2" /> <text x="270" y="40" font-family="Arial" font-size="14" fill="white" text-anchor="middle">2 $10 ×2 ×5 令吉 (MYR) RM 3.5 RM 7.0 RM 35.0 ×2 ×5

• 等比缩放：新币金额乘 $2$（$1 \to 2$），对应的令吉金额也乘 $2$（$3.5 \to 7$）。
• 恒定比值 (Constant Ratio)：
  $\frac{\text{MYR}}{\text{SGD}} = \frac{3.5}{1} = \frac{7}{2} = \frac{35}{10} = 3.5 \quad (\text{常数 } k)$
  在这个关系中，汇率 $3.5$ 就是比例常数。

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场景二：汽车油耗与行驶里程

并非所有“同时增加”的关系都是正比例。我们通过汽车行驶来对比：

• 理想情况（正比例）：假设汽车在高速公路上以恒定速度行驶，每行驶 $100\text{ km}$ 消耗 $6\text{ L}$ 汽油。
  • 里程 $d$ 与油耗 $F$ 成正比例，比值 $\frac{F}{d} = \frac{6}{100} = 0.06\text{ L/km}$ 是恒定的。
• 非正比例情况：车辆在市区拥堵路段行驶。
  • 起步、停车、等红灯都会额外消耗燃油。行驶 $10\text{ km}$ 可能用油 $1\text{ L}$，但行驶 $20\text{ km}$（由于堵车状况改变）可能用了 $2.5\text{ L}$。
  • 比值 $\frac{2.5}{20} = 0.125 \neq \frac{1}{10} = 0.1$。因为比值不恒定，这不是正比例关系。

判定黄金法则：
两个变量 $x$ 和 $y$ 成正比例，必须满足当 $x \neq 0$ 时，$\frac{y}{x} = k$（$k$ 为非零常数）。

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例题精讲：辨析正比例关系

题目：判断下列各组变量 $x$ 和 $y$ 是否成正比例关系，并说明理由。

1. 一只苹果售价 $1.5\text{ SGD}$。购买苹果的数量 $x$（个）与总花费 $y$（SGD）。
2. 某人的年龄 $x$（岁）与他的身高 $y$（cm）。
3. 一个正方形的边长 $x$（cm）与它的面积 $y$（$\text{cm}^2$）。

分步解析：

• 第 1 问：是。
  总价 $y = 1.5x$。比值 $\frac{y}{x} = 1.5$ 始终为常数。数量翻倍，总价必然翻倍。
• 第 2 问：否。
  虽然在成长阶段身高和年龄会同时增长，但二者不成固定倍数（例如 $20$ 岁时的身高显然不是 $10$ 岁时的 $2$ 倍），且成年后身高停止增长，比值不再改变。
• 第 3 问：否。
  正方形面积公式为 $y = x^2$。比值 $\frac{y}{x} = \frac{x^2}{x} = x$。因为比值随着边长 $x$ 的变化而变化，不是常数，所以不成正比例（注：边长翻倍，面积会变为原来的 $4$ 倍）。

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概念总结与数学建模

通过前面的实例，我们可以将正比例（Direct Proportion）的数学特征归纳如下：

• 代数定义：
  若变量 $y$ 与变量 $x$ 成正比例，则它们满足：
  $y = kx \quad (\text{其中 } k \text{ 是非零常数})$
  这里的 $k$ 被称为比例常数 (Constant of Proportionality)。

• 三个关键判定点：

  1. 同向性：当 $x$ 增大时，若 $k > 0$，$y$ 也增大；若 $k < 0$，$y$ 减小。
  2. 倍数同步：$x$ 变为 $n$ 倍，$y$ 自动变为 $n$ 倍。
  3. 过原点：当 $x = 0$ 时，必然有 $y = 0$（例如：不买苹果，花费必为 $0$）。

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随堂练习

请尝试用今天学到的“恒定比值”概念解决以下问题：

练习 1：
在新加坡某加油站，购买 $12\text{ L}$ 的 95 号汽油需要支付 $33.60\text{ SGD}$。

1. 确认汽油总价 $C$ 与加油量 $V$ 成正比例，并求出比例常数 $k$（写出其物理意义）。
2. 若购买 $45\text{ L}$ 的同款汽油，需要支付多少费用？

练习 2：
一幅地图的比例尺（Scale）为 $1 : 50,000$。

1. 地图上的距离 $d$ 与实际距离 $D$ 是否成正比例？
2. 若地图上两点距离为 $4.2\text{ cm}$，其实际距离是多少千米（$\text{km}$）？