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线性组合

求解涉及使用 E(aX+bY)\mathrm{E}(aX+bY) 和 Var(aX+bY)\mathrm{Var}(aX+bY)（其中 XX 与 YY 相互独立）的问题。

这个知识点的练习题

  1. 1第二部分：统计学 [60 分] 一位经理声称，每位顾客在他的超市里所花的时间服从均值为 35 分钟、标准差为 30 分钟的正态分布。一位统计学家评论说，分布 N(35,302)\text{N}(35, 30^2) 无法提供一个合适的模型。 你同意该统计学…
  2. 2在本题中，你应该写出你所使用的任何分布的参数。 Crispy Cream 甜甜圈店销售 2 种甜甜圈：环形甜甜圈（Ring Donuts）和夹心甜甜圈（Filled Donuts）。环形甜甜圈和夹心甜甜圈的质量（以克为单位）分别服从正态分布…
  3. 3XX 是一个均值为 1、方差为 1 的正态随机变量，并且 YY 也是一个均值为 μ\mu、方差为 2 的正态随机变量。 已知 P(0≤X+Y<3)>0.44P(0 \le X + Y < 3) > 0.44，求 μ\mu 的所有可能值的范围。 若改为已知 μ=10\mu = 10…
  4. 4一家信用卡公司有一条专门的 24 小时电话热线，供客户报告信用卡遗失或申请提高信用额度。结果发现，在任何 10 分钟的期间内，平均会收到三个报告信用卡遗失的电话和两个申请提高信用额度的电话。此外，每 15 分钟平均会收到六个关于其他客户服务…
  5. 5捕鱼公司 A 有两种类型的渔船：“标准型”渔船和“大型”渔船。在一次典型的捕鱼航行中，各渔船捕获的鱼量均呈正态分布，其均值和标准差如表所示。 捕鱼公司 B 与捕鱼公司 A 在同一海域作业。 然而，公司 B 拥有公司 A 两种渔船的改进版本：…
  6. 6在本题中，你应该清楚地陈述所使用的所有分布以及相应参数的值。 一位玩具设计师设计了用于平衡类益智玩具的加重木块。木块有两种类型：圆柱体木块和长方体木块。每个圆柱体木块和长方体木块的质量（以克为单位）均服从正态分布，参数如下： | | 均值…
  7. 7SS 和 TT 是独立的随机变量，分别服从分布 N(18,32)N(18,3^2) 和 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)。已知 P(T<4)=P(T>9)P(T<4)=P(T>9) 且 P(S<3T)=0.65P(S<3T)=0.65。求 μ\mu 和 σ\sigma 的值。 一个水…
  8. 8在本题中，你应该清楚地写出你所使用的所有分布，以及相应参数的值。 一杯芝士茶由两种原料调制而成：奶盖和茶。调配芝士茶的咖啡师在将奶盖或茶倒入杯中后，不得将其取出。由一名经验丰富的咖啡师制作的一杯芝士茶中，奶盖和茶的量（以 ml 为单…
  9. 9捕鱼公司 A 有两种类型的渔船：“标准”船和“大型”船。在一次典型的捕鱼航行中，各渔船捕获的鱼量呈正态分布，其均值和标准差如表所示。 | | 均值 (kg) | 标准差 (kg) | |---|---|---| | 标准 | 300 | σ\sigma…
  10. 10在本题中，你应该清楚地写出你所使用的任何正态分布的参数值。 苹果和梨的质量（以克为单位）分别独立服从分布 N(260,152)N(260, 15^{2}) 和 N(210,102)N(210, 10^{2})。 某食谱需要 5 个苹果和 6 个梨。该食谱要求通过去核来处理…
  11. 11在本题中，你应该清晰地写出所使用的任何分布的相应参数值。 足球的直径服从均值为 22.0 cm、标准差为 0.3 cm 的正态分布，而篮球的直径服从均值为 μ\mu cm、标准差为 0.4 cm 的正态分布。 随机选取的篮球直径比随机选取…
  12. 12由机器 AA 装入罐中的汤的质量（XX 克）服从均值为 μ\mu 克、标准差为 σ\sigma 克的正态分布。 已知 P(X<112)=P(X>128)=0.09121P(X < 112) = P(X > 128) = 0.09121，求 μ\mu 和 σ\sigma 的值…
  13. 13在本题中，你应该写明你所使用的任何分布的参数。 一个果园销售两种品种的奇异果：A型和B型。A型和B型奇异果的质量（以克为单位）分别服从分布 N(110,62)N(110,6^2) 和 N(85,82)N(85,8^2)。假设这两个分布是相互独立的。 奇异果被随机选择…
  14. 14抛掷一枚特定硬币时获得正面的概率为 pp。一个均匀的立方体骰子，其一个面写有数字“1”，两个面写有数字“2”，三个面写有数字“3”。 同时抛掷该硬币和骰子。随机变量 XX 定义如下： 如果硬币显示正面，则 X 为骰子点数的三倍。\text{如果硬币显示正面，则 } X \text{ 为骰子点数的三倍。}…
  15. 15ECBC 银行呼叫中心话务员平均每小时接听的电话次数正在被评估。 结合背景，指出如果要用泊松分布很好地模拟话务员接听的电话次数，需要作出的两个假设。 该呼叫中心在任何时间点都只有三名话务员。一名负责处理信用卡咨询相关的电话，另一名处理商业银…
  16. 16一家苗圃向长青私人有限公司（Evergreen Pte. Ltd.）供应植物。所供应植物的高度（以厘米为单位）可以认为服从分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^{2})。 多年来，长青公司因植物太矮退回了 6% 的供应植物，因太高退回了 4%…
  17. 17[对于本题，你应该清楚地说明你所使用的任何正态分布的参数值。] 每天晚饭后，班尼迪克特（Benedict）在晚上 8 点开始温习功课之前会给自己一些时间放松。他在晚上 7 点过 DD 分钟时吃完晚饭，其中 DD 服从分布 N(10,22)\text{N}(10, 2^2)…
  18. 18粗粒小麦粉（semolina flour）包装袋的质量（以克为单位）服从分布 N(225,  252)N(225,\;25^2)，而小米粉（millet flour）包装袋的质量（以克为单位）服从分布 N(μ,  σ2)N(\mu,\;\sigma^2)。 求一袋粗粒小麦粉…
  19. 19在本题中，你应该清楚地写出你所使用的任何正态分布的参数。 鸡的质量（单位：千克）服从正态分布 N(1.5,σ2)N(1.5,\sigma^2)，其中 7.65% 的鸡质量大于 1.6 kg。 求 σ\sigma 的值。 鸭的质量（单位：千克）服从正态分…
  20. 20为了减少道路上的超速事件数量，S国的交警在三个繁忙的交通路口 A、B 和 C 设置了交通摄像头，以监控通过这些路口的车辆速度。路口 A、B 和 C 的摄像头捕获的超速车辆平均数分别为每 3 小时 2 辆、每 4 小时 5 辆和每小时 λ\lambda…
  21. 21一名警察在路障检查中会检查他拦截的车辆中的每位乘客。随机拦截的车辆中的乘客人数是一个随机变量 XX。XX 的概率分布如下表所示。 | xx | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---|…
  22. 22一家信用卡公司设有一条24小时特别服务热线，供客户挂失信用卡或申请调高信用额度。经统计，在任意10分钟的时段内，平均会收到3个挂失信用卡的电话和2个申请调高信用额度的电话。此外，每15分钟平均会收到6个关于其他客户服务（即与挂失信用卡或申请…
  23. 23绿地工厂（Green Earth Factory）生产太阳能电池板。平均而言，生产的太阳能电池板中有 2% 被发现存有缺陷。太阳能电池板以每批 10 块的形式包装。 已知每批缺陷太阳能电池板的数量服从二项分布。 结合太阳能电池板生产的背景，…
  24. 24在本题中，你应该说明你所使用的任何分布的参数。 某客户服务呼叫中心将接入的电话进行分类，以便后续解决问题。对接入电话进行分类所需的时间 TT（分钟）服从正态分布 N(2,0.22)\text{N}(2, 0.2^2)。接入的电话被分类为常规电话…
  25. 25在大减价期间，男士和女士在各自试衣间的等待时间（以分钟为单位）的均值分别为 4.2 和 8.5，标准差分别为 1.6 和 2.2。 商场经理希望确保随机选取的 50 名女士在试衣间的平均等待时间超过 kk 分钟的概率最多为 10%。求…
  26. 26在学校食堂中，30 秒内排队购买面条的人数是一个服从分布 Po(1.5) 的随机变量。 求在 5 分钟内，至少有 10 人加入排队的概率。 在 30 秒内离开该队伍的人数是一个服从分布 Po(1.9) 的随机变量。求在 5 分钟内，至少有…
  27. 27在这道题中，你应该说明你所使用的任何分布的参数。 当地的一个鱼市因其销售的两种鱼而闻名。可以假设每种鱼的质量（单位：kg）服从独立的正态分布，其均值和标准差如下表所示。 在特定的一天，陈太太带了 $50 到鱼市买鱼。红鲷鱼（Snapper…
  28. 28在食堂的饮料摊上，既销售热饮也销售冷饮。每分钟售出的热饮数量服从均值为 0.4 的泊松分布。每分钟售出的冷饮数量服从一个独立的、均值为 0.5 的泊松分布。 证明在给定的 5 分钟时间段内，总共售出超过 4 杯饮料的概率为 0.468（保留…
  29. 29在本题中，你应该清晰地写出你所使用的所有分布，以及相应参数的值。 某公司用两台机器生产两种类型的毛线球。机器 AA 生产双股毛线球。在一段时间内，发现机器 AA 生产的毛线球中，有 80% 的长度小于 340 米，10% 的长度…
  30. 30在本题中，你应该清晰地写出你所定义的任何随机变量的分布。 随机抽取的小瓶香水容量（以 ml 为单位）SS 均值为 20，方差为 σ2\sigma^2。 若 σ=15\sigma = 15，解释为什么 SS 可能不适合用正态分布来建模。 现假…
  31. 31在本题中，你应该写出你所使用的任何正态分布的参数。 加油站（站点 AA）发现其日销售量（以升为单位）服从均值为 5400、标准差为 240 的正态分布。 另一个加油站（站点 BB）的日销售量服从均值为 6200 升、标准差为 ss 升…
  32. 32在一个小镇上，有两家诊所，李氏诊所（Lee's Clinic）和希望诊所（Hope Clinic）。在李氏诊所，患者的等待时间服从均值为 25 分钟、标准差为 8 分钟的正态分布。希望诊所患者的等待时间服从均值为 37 分钟、标准差为 4…
  33. 33Good Papa 咖啡馆只出售两种玛芬蛋糕：巧克力和香蕉。在随机选择的一小时内，售出的巧克力玛芬数量和香蕉玛芬数量分别服从均值为 3 和 λ\lambda 的独立泊松分布。 已知在特定的一小时内，售出 2 个玛芬蛋糕的概率与售出 4 个…
  34. 34一家工厂制造由安装在木质底座上的玻璃组成的镇纸。随机挑选的镇纸中玻璃的体积（以 cm3\text{cm}^3 为单位）服从均值为 56.5、标准差为 2.9 的正态分布。木质底座的体积（以 cm3\text{cm}^3 为单位）服从独立的正态分…
  35. 35Epple公司生产大量的E-phone。已知生产的E-phone中有 1% 是次品。 随机抽取了 10 部 E-phone 作为样本。求其中至少有 1 部但少于 3 部是次品的概率。 又随机抽取了另一个包含 10 部 E-phone 的样本…
  36. 36In this question you should state clearly all the distributions that you use, together with the values of the appropriat…
  37. 37在本题中，你应该清晰地写出你使用的所有分布，以及相应参数的值。 当地的一家超市销售两种土豆：褐土豆（Russet potatoes）和荷兰土豆（Holland potatoes）。褐土豆的质量（以克为单位）服从分布 N(200,302)\mathrm{N}(200, 30^2)…
  38. 38一家杂货店销售两种苹果：品牌 AA 和品牌 SS。这两种品牌苹果的质量（以克为单位）可以建模为相互独立的正态分布，其均值和标准差如下表所示。 | | 均值 | 标准差 | |---|---|---| | 品牌 AA | 82.2 |…
  39. 39申请帝国大学（Kingdom University）和海岛大学（Island University）的学生需要使用他们的国家考试成绩进行申请。两所大学意向申请者的成绩可以用独立的正态分布来建模，其均值和标准差如下表所示。 | | 平均成绩…
  40. 40在一所初级学院（Junior College）中，体育（PE）部门正在分析两个年级 C1 和 C2 的女生完成 2.4 公里跑步测试所用的时间。 随机挑选的一名 C1 女生完成 2.4 公里跑步测试所需的时间（以分钟为单位）服从均值为 14…
  41. 41在一条特定的步道上测得的电动滑板车速度（XX km/h）和行人速度（YY km/h）服从正态分布，其均值和方差如下： 写出 μ\mu 的值并求出 σ\sigma 的值。 已知测得的电动滑板车中有一半的速度与均值的差在 aa km/…
  42. 42在本题中，你应该写出你所使用的任何分布的参数。 一个果园销售两种品种的奇异果：AA 型和 BB 型。AA 型和 BB 型奇异果的质量（以克为单位）分别服从分布 N(110,62)\mathrm{N}(110, 6^2) 和 N(85,82)\mathrm{N}(85, 8^2)…
  43. 43在本题中，你应该写出你所使用的任何分布的参数。 为了规范付费会员对健身房设施的使用，某健身房提供了一项指南，规定每位付费会员每次使用的最大时间为 90 分钟。然而，健身房的记录显示，其付费会员的使用时间 XX（分钟）服从分布 N(95,σ2)\text{N}(95, \sigma^2)…
  44. 44"Famous Amas" 制作两种曲奇饼干：杏仁曲奇和巧克力片曲奇。一块杏仁曲奇和一块巧克力片曲奇的质量（以克为单位）是相互独立的随机变量，分别服从分布 N(32,3.02)N(32, 3.0^2) 和 N(28,1.82)N(28, 1.8^2)。 杏仁曲奇的价格为每…
  45. 45渔业公司 A 拥有两种型号的渔船：“标准型”渔船和“大型”渔船。在一次典型的出海捕鱼中，各型号渔船的捕鱼量均服从正态分布，其均值和标准差如表所示。 如果一艘标准型渔船返航时的捕鱼量超过 400kg，则被称为“丰收”。丰收的概率为 8%。证明…
  46. 46申请入读王国大学（Kingdom University）和岛屿大学（Island University）的学生必须使用其全国考试成绩。各大学的意向申请者的成绩可以用独立的正态分布来建模，其均值和标准差如表中所示。 王国大学只录取前 30%…
  47. 47在一次考试中，学生的试卷 1 成绩 XX 服从均值为 62、标准差为 σ\sigma 的正态分布，而学生的试卷 2 成绩 YY 服从均值为 71、标准差为 8 的正态分布。学生的考试最终成绩是这两张试卷的平均分，并假设 XX 和 YY…
  48. 48在本题中，你应该清晰地写出你所使用的任何正态分布的参数值。 一个水果商贩销售两种水果，即榴莲和红毛榴莲。榴莲和红毛榴莲的质量（单位：kg）被建模为服从正态分布，其均值和标准差如下表所示。 | | 平均质量 (kg) | 标准差 (k…
  49. 49在此题中，你应指明你所使用的任何分布的参数。 一家零食公司生产两种薯片：Rays 和 Luffles。一包普通装 Rays 薯片的质量（以克为单位）服从分布 N(100,σ2)\text{N}(100, \sigma^2)，一包普通装 Luffl…
  50. 50在本题中，你应该写明你所使用的任何分布的参数。 为了规范付费会员对其设施的使用，健身房规定每位付费会员每次到访的使用时间上限为 90 分钟。然而，健身房的记录显示，其付费会员的使用时间 XX 分钟服从分布 N(95,σ2)N(95, \sigma^{2})…
  51. 51某超市出售两种口味（巧克力和草莓）的特定品牌饼干。一天内售出的巧克力饼干盒数的平均值为 2.2。 求在一天中没有售出巧克力饼干的概率。 在一周（7 天）内，求没有售出巧克力饼干的天数的期望值。 一天内售出的草莓饼干盒数的平均值记为 λ\lambda…
  52. 52下表显示了新加坡 18 岁男孩的年龄对应 BMI（身体质量指数）情况。 | 年龄（岁） | 体重指标 | 体重不足 | 超重 | | :--- | :--- | :---: | :---: | | | | ≤5th\le 5^{\text{th}}…
  53. 53水果按重量出售。苹果的售价为每千克 $2，橙子的售价为每千克 $3。苹果和橙子的质量（以千克为单位）被建模为具有独立的正态分布，其均值和标准差如表中所示。 | | 平均质量 | 标准差 | |---|---|---| | 苹果 | 0.…