数学知识点English

中心极限定理

在样本量足够大（如 n≥30n\ge 30）时，利用中心极限定理将样本均值视为服从正态分布。

这个知识点的练习题

  1. 1一家面包店声称每个蛋糕的平均质量为 600 克。对 10 个蛋糕进行了随机抽样检验，并确定了每个蛋糕的质量 xx 克。结果发现： ∑(x−500)=800and∑(x−500)2=65764.\sum(x-500)=800\quad\text{and}\quad\sum(x-500)^2=65764.…
  2. 2道格先生的工厂生产在当地超市销售的袋装面粉，包装分为两种规格——普通装和大装。自动机器进行称重和包装。最近一次严重的停电导致他所有的机器在重新启动时都需要重新校准。 普通装袋装面粉的平均质量应该是 1 kg。道格先生怀疑他的机器现在包装的普…
  3. 3S 大学的研究人员声称，真菌 A（一种通常存在于土壤和植物中的真菌菌株）能够在 90 天内降解经过紫外光或热预处理的聚丙烯（一种难以回收的塑料），降解量在每 100 克聚丙烯中至少达到 27 克。 M 大学的研究人员认为 S 大学研究人…
  4. 4SS 和 TT 是独立的随机变量，分别服从分布 N(18,32)N(18,3^2) 和 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)。已知 P(T<4)=P(T>9)P(T<4)=P(T>9) 且 P(S<3T)=0.65P(S<3T)=0.65。求 μ\mu 和 σ\sigma 的值。 一个水…
  5. 5在某诊所中，患者看医生的等待时间为 TT 分钟。随机抽取的 120 名患者的等待时间数据汇总如下： ∑(t−15)=123,and∑(t−15)2=2504.\sum (t-15) = 123, \quad \text{and} \quad \sum (t-15)^2 = 2504. 求…
  6. 6能量棒是运动员便利的营养来源。一根典型的能量棒重 30-50 克，可能提供大约 200-300 卡路里的热量。一家美国公司销售能量棒，该公司的一位营养学家声称，其产品“完美蛋白质”（Perfect Protein）能量棒的平均热量为 350…
  7. 7乙组：概率与统计［35分］ 根据过去的数据，某校学生完成 H2 数学 A-level 考试试卷的平均时间为 170 分钟。在 2024 年 6 月，陈老师认为这届学生还没有准备好迎接考试，需要超过 170 分钟才能完成该试卷。她将同…
  8. 8在本题中，你应该清楚地写出你所使用的所有分布，以及相应参数的值。 一杯芝士茶由两种原料调制而成：奶盖和茶。调配芝士茶的咖啡师在将奶盖或茶倒入杯中后，不得将其取出。由一名经验丰富的咖啡师制作的一杯芝士茶中，奶盖和茶的量（以 ml 为单…
  9. 9在本题中，你应该写明你所使用的任何分布的参数。 一个果园销售两种品种的奇异果：A型和B型。A型和B型奇异果的质量（以克为单位）分别服从分布 N(110,62)N(110,6^2) 和 N(85,82)N(85,8^2)。假设这两个分布是相互独立的。 奇异果被随机选择…
  10. 10某品牌薯片以每箱 60 包的规格运送到超市。平均而言，每箱有 1.8 包薯片净重不足。随机选择的一箱中净重不足的薯片包数是随机变量 XX。 假设 XX 服从二项分布。 使用适当的近似方法，求随机选择的两箱薯片中包含超过 6 包净重不足薯…
  11. 11抛掷一枚特定硬币时获得正面的概率为 pp。一个均匀的立方体骰子，其一个面写有数字“1”，两个面写有数字“2”，三个面写有数字“3”。 同时抛掷该硬币和骰子。随机变量 XX 定义如下： 如果硬币显示正面，则 X 为骰子点数的三倍。\text{如果硬币显示正面，则 } X \text{ 为骰子点数的三倍。}…
  12. 12一家医院引入了一种新的药物方案，以帮助患者更快地从病毒感染中康复。以前，平均康复时间为 7.2 天。 采用新方案后，对 40 名患者的随机样本进行了观察，并记录了他们的康复时间 xx（以天为单位）。结果汇总如下。 ∑(x−7.2)=−42and∑(x−7.2)2=648\sum (x - 7.2) = -42 \quad \text{and} \quad \sum (x - 7.2)^2 = 648…
  13. 13某制造商声称他生产的灯泡平均寿命至少为 1200 小时。抽取了 120 个灯泡的随机样本，并测量了每个灯泡的寿命（xx 小时）。结果汇总为 ∑(x−1200)=−60\sum (x-1200) = -60 和 ∑(x−1200)2=2014\sum (x-1200)^2 = 2014。…
  14. 14一台自动分装机被设定为向杯中注入热巧克力。根据长期观察，发现每杯热巧克力的容量（以 ml 为单位）符合均值为 55、标准差为 10 的分布。 抽取了一个包含 nn 杯热巧克力的大型随机样本。已知样本均值超过 54 ml 的概率大于 0.7…
  15. 15历史数据表明，欧洲足球锦标赛中每场比赛的进球数均值为 1.93，方差为 1.4。抽取一个由 nn 场比赛组成的大容量随机样本。求最小的 nn 值，使得每场比赛平均进球数超过 2 个的概率小于 0.24。
  16. 16在一个实验室中，检测员测试一块电路板所需的时间（以分钟为单位）是一个连续型随机变量 XX。XX 的标准差为 0.63，且在通常情况下，XX 的期望值为 5.82。由于引入了激励计划，实验室主管声称检测员进行测试的速度变快了。结果发现，…
  17. 17一家羽毛球拍公司的生产经理希望检查所生产的羽毛球拍的平均质量是否如设计规格中所述为 800g。羽毛球拍的总体标准差为 20g。他对由 nn 个羽毛球拍组成的大样本进行了假设检验。样本平均质量为 807g，且原假设在 2% 的显著性水平下被…
  18. 18绿地工厂（Green Earth Factory）生产太阳能电池板。平均而言，生产的太阳能电池板中有 2% 被发现存有缺陷。太阳能电池板以每批 10 块的形式包装。 已知每批缺陷太阳能电池板的数量服从二项分布。 结合太阳能电池板生产的背景，…
  19. 19某公司生产用于建筑的钢筋。生产经理声称钢筋的平均抗拉强度至少为 620 MPa。公司董事希望调查这一声称，并随机抽取了 80 根钢筋作为样本。该随机样本的抗拉强度 xx（单位：MPa）汇总如下： ∑(x−620)=−300,∑(x−620)2=36680.\sum (x-620) = -300,\qquad \sum (x-620)^2 = 36680.…
  20. 20爱丽丝使用计算机程序模拟抛掷一枚非均匀硬币 80 次。令 YY 为表示获得正面朝上次数的随机变量，pp 为获得正面朝上的概率。已知 80+E(Y)=6 Var(Y)。80 + E(Y) = 6\,\mathrm{Var}(Y)。 求 pp 的准确值。 已知前 5…
  21. 21在大减价期间，男士和女士在各自试衣间的等待时间（以分钟为单位）的均值分别为 4.2 和 8.5，标准差分别为 1.6 和 2.2。 商场经理希望确保随机选取的 50 名女士在试衣间的平均等待时间超过 kk 分钟的概率最多为 10%。求…
  22. 22EastHam 是一支处于竞争激烈联赛中的足球俱乐部。研究发现，EastHam 在比赛中打入首粒进球所需的平均时间为 50 分钟。教练试用了一种新的战术，并记录了本赛季随机抽取的 35 场比赛中，打入首粒进球所需的时间 xx 分钟。结果显…
  23. 23Dough 先生的工厂生产在当地超市销售的面粉，分为两种包装尺寸——普通装和大装。自动机器对面粉进行称重和包装。最近一次大停电导致他所有的机器在重新启动时都需要重新校准。 普通装面粉的平均质量应该为 1 kg。Dough 先生怀疑他的机器现…
  24. 24顾客消费的金额通常与他们在商店内逗留的时间相关。根据一项针对 500,000 次购物行程的全国性调查，顾客在服装店逗留的平均时间为 30 分钟。逗留时间（单位：分钟）的第一、第二和第三四分位数如下表所示： | 四分位数 | 数值（分钟） |…
  25. 25一家洗手液公司 Cleanser 声称，其每瓶洗手液的平均容量为 15 ml。消费者协会随机抽取了 80 瓶样本，并测量了每瓶的容量。结果发现样本均值和样本方差分别为 xˉ\bar{x} 和 2 ml22\ \text{ml}^2。在 5% 的显…
  26. 26根据长期观察，格里夫斯初级学院（GJC）男生完成 2.4 公里跑步的平均时间已知为 11.3 分钟，标准差为 2.2 分钟。作为对当前体能训练计划评估的一部分，GJC 的体育（PE）部门决定在 2.5% 的显著性水平下测试 GJC 男生完成…
  27. 27某工厂生产大量各种颜色的筹码，并将它们装入盒子中。每个盒子包含 36 个随机选择的筹码。平均而言，有 30% 的筹码是黄色的。你可以假设一个盒子中黄色筹码的数量服从二项分布。 75 个随机选择的盒子被装入一个纸箱中用于运输。 发现一个随机选…
  28. 28一个 6 面骰子有三个面标有 '1'，两个面标有 '2'，一个面标有 '3'。另一个 6 面骰子有一个面标有 '1'，两个面标有 '2'，三个面标有 '3'。在一场游戏中，玩家同时掷这两个骰子。 - 如果朝上的数字相同，则从装有 3 张蓝色…
  29. 29一家工厂生产长度为 10 cm 的红肠卷。为了进行质量控制，生产主管希望从一台特定机器生产的红肠卷中抽取一个随机样本。 说明在这种情境下，样本是随机的意味着什么。 一个由 60 个红肠卷组成的随机样本，其长度为 xx cm，数据汇总如下。…
  30. 30在一个小镇上，有两家诊所，李氏诊所（Lee's Clinic）和希望诊所（Hope Clinic）。在李氏诊所，患者的等待时间服从均值为 25 分钟、标准差为 8 分钟的正态分布。希望诊所患者的等待时间服从均值为 37 分钟、标准差为 4…
  31. 31EastHam 是一家处于竞争激烈联赛中的足球俱乐部。研究发现，EastHam 在比赛中攻入首球的平均时间为 50 分钟。教练试验了一种新的战术，并在该赛季中随机抽取了 35 场比赛，记录了攻入首球所需的时间 xx（分钟）。结果发现总用时…
  32. 32一家公司声称，其工人在施工现场的平均工作时间每天不超过 8 小时。从 150 名工人中随机抽样，记录每名工人的工作时间为 xx 小时，汇总数据如下： ∑x=1305, ∑x2=12751.\sum x = 1305,\ \sum x^2 = 12751. 在 1% 的…
  33. 33一家医院引入了一种新的药物疗法，以帮助患者更快地从病毒感染中康复。此前，平均康复时间为 7.2 天。 采用新疗法后，观察了 40 名患者的随机样本，并记录了他们的康复时间 xx（天）。结果总结如下。 ∑(x−7.2)=−42and∑(x−7.2)2=648\sum (x-7.2) = -42 \quad\text{and}\quad \sum (x-7.2)^2 = 648…
  34. 34一位研究人员正在对一种新栽培品种的土豆进行试验。一块田地里有 20 行新栽培品种的土豆植株，每行有 80 株。研究人员打算挖出 8 株并测量每株植株产出的土豆质量。 描述他如何能从单行 80 株植株中抽取一个含有 8 株植株的系统抽样样本，…
  35. 35Good Papa 咖啡馆只出售两种玛芬蛋糕：巧克力和香蕉。在随机选择的一小时内，售出的巧克力玛芬数量和香蕉玛芬数量分别服从均值为 3 和 λ\lambda 的独立泊松分布。 已知在特定的一小时内，售出 2 个玛芬蛋糕的概率与售出 4 个…
  36. 36在一家工厂中，两台独立的机器 A 和 B 将面粉装入包装袋中，包装袋上标明每袋 1.5 kg。在一次质量控制检查中，生产经理随机抽取了由机器 A 填装的 40 袋面粉进行检查。这 40 袋面粉的质量（xx kg）记录如下。 ∑x=60.32∑x2=90.993\sum x = 60.32 \quad \sum x^2 = 90.993…
  37. 37在本题中，你应该清晰地写出你使用的所有分布，以及相应参数的值。 当地的一家超市销售两种土豆：褐土豆（Russet potatoes）和荷兰土豆（Holland potatoes）。褐土豆的质量（以克为单位）服从分布 N(200,302)\mathrm{N}(200, 30^2)…
  38. 38Dough先生的工厂生产在当地超市销售的袋装面粉，包装分为两种规格：普通装和大装。自动机器对称重和包装进行处理。最近一次严重停电导致所有机器在重启时都需要重新校准。 普通装面粉的平均质量应该为 1 kg。Dough先生怀疑他的机器现在包装的…
  39. 39在某厂家生产的一盒芝士圈中，钠的质量 XX 毫克（mg）是一个连续随机变量，其均值为 μ0\mu_0。在改变生产链后，对随机抽取的 15 盒芝士圈进行了分析。各盒中钠的质量（以 mg 为单位）汇总如下： ∑(x−1180)=17.5 ,∑(x−1180)2=190.5\displaystyle \sum (x-1180)=17.5\,,\qquad \displaystyle \sum (x-1180)^2=190.5…
  40. 40Eastham 是一家处于竞争激烈联赛中的足球俱乐部。研究发现，Eastham 在一场比赛中打入首粒进球所需的平均时间为 50 分钟。教练试验了一种新的战术，并记录了本赛季随机抽取的 35 场比赛中打入首粒进球所需的时间 xx（分钟）。结…
  41. 41患者在诊所候诊的时间为 TT 分钟。随机抽取的 120 名患者的候诊时间汇总如下： ∑(t−15)=123\sum (t-15) = 123 且 ∑(t−15)2=2504\sum (t-15)^2 = 2504。 求总体均值的无偏估计，并证明总体方差的无偏估计为 19.983…
  42. 42在本题中，你应该写出你所使用的任何分布的参数。 一个果园销售两种品种的奇异果：AA 型和 BB 型。AA 型和 BB 型奇异果的质量（以克为单位）分别服从分布 N(110,62)\mathrm{N}(110, 6^2) 和 N(85,82)\mathrm{N}(85, 8^2)…
  43. 43Tim 是一所学生人数众多的学校的学生。作为其课题的一部分，Tim 想要采访他的一些同学，以获取有关学校的一些反馈。 假设学校在一年级和二年级有相同数量的学生，且每个年级的男生和女生人数相等。如果 Tim 想要采访该校的 80 名学生，解释…
  44. 44在一个游戏中，玩家从一个装有四个分别标有“1”、“1”、“2”和“3”的球的袋子中随机选择一个球。玩家记录所选球上的数字，然后投掷该数字个均匀对称的硬币。得到的正面朝上的硬币个数记为 XX，其概率分布如下： | xx | 0 | 1 |…
  45. 45一轮游戏是通过沿着如下图所示的网格线，将棋子从起点 XX 随机移动到终点 AA 至 EE 中的一个来进行的。 * 棋子只能沿着网格线向上或向右移动。 * 在离开 XX 后的每一步移动中，玩家随机将棋子向右移动的概率为 pp，向上移…
  46. 46在一个月的时间里，花圃中兰花植物的高度增长量的均值为 1.34 cm，标准差为 0.24 cm。在花圃中播放舒缓音乐，一个月后，测量了 55 株兰花植物的随机样本，高度增长量为 xx cm。 在 5% 的显著性水平下进行检验，以确定兰花植…
  47. 47每天早上，彼得都要坐公交车去上学。他平均每天在早上 6:30 到达公交站。他到达公交站的时间服从正态分布，标准差为 10 分钟。第一班公交车将于早上 6:40 准时出发，第二班公交车将于早上 6:50 准时出发。无论公交车何时离开公交站，公…
  48. 48某超市出售两种口味（巧克力和草莓）的特定品牌饼干。一天内售出的巧克力饼干盒数的平均值为 2.2。 求在一天中没有售出巧克力饼干的概率。 在一周（7 天）内，求没有售出巧克力饼干的天数的期望值。 一天内售出的草莓饼干盒数的平均值记为 λ\lambda…
  49. 49某一特定的流媒体服务平台声称，用户每次访问该平台观看内容的时间平均超过 15 分钟。该平台的一个数据分析团队想要验证这一说法。他们随机抽取了 80 名用户作为样本，并记录了每位用户在单次访问中观看内容的时间。结果发现观看时间的样本均值为 1…
  50. 50从 18 岁年轻男性的总体中随机抽取了 27 个个体，测量了每个个体的右脚长度，精确到厘米。数据如以下表格所示。 使用此数据，在 2% 的显著性水平下检验 18 岁男性的平均脚长是否大于 27 cm，并说明你做出的任何假设。 从 18 岁年…
  51. 51在某制造商生产的一盒芝士圈中，钠的质量 XX 毫克是一个均值为 μ0\mu_0 的连续随机变量。随着生产线的改变，分析了随机抽取的15盒芝士圈。盒子中钠的质量（单位：毫克）汇总如下： ∑(x−1180)=17.5 ,∑(x−1180)2=190.5 .\sum (x-1180)=17.5\,,\qquad \sum (x-1180)^2 =190.5\,.…
  52. 52在 AquaV 游泳培训学校中，学员游完一圈泳池所需的平均时间为 35 秒。该学校采用了一项新的国际培训计划 Breakthru，为期 3 个月，并希望分析 Breakthru 在缩短学员用时方面是否有效。 抽取了 30 名学员作为样本，他…
  53. 53陈先生（学校的行政经理）认为他所在学校的 JC 学生在学校食堂购买并享用午餐平均需要 22 分钟。 在数据收集过程中，陈先生使用学校的电脑程序，根据学生的法定姓名首字母顺序，为他所在学校的每个 JC 学生分配一个号码，并使用随机数生成器抽取…