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概率加法与乘法原理

概率的加法与乘法。

这个知识点的练习题

  1. 1一位业余作曲家正在编排一段由四个音符和接下来的三个节拍组成的序列。有 7 种可能的音符（标记为 A 到 G）和 5 种可能的节拍（标记为 1 到 5）。音符和节拍的顺序在创作中很重要。求随机选择的序列满足以下条件的概率： 第三个节拍的数字大…
  2. 2凯（Kai）和里奥（Leo）两兄弟是定期训练的双项全能（跑步和骑行）运动员。在每一天中，凯骑行的概率为 34\frac{3}{4}，跑步的概率为 35\frac{3}{5}，两者都进行的概率为 pp。 平均而言，里奥在一周的 7 天中有…
  3. 3色觉障碍（色盲）是指辨别颜色差异的能力降低。色觉正常的人能够将 6 种颜色（红、橙、黄、绿、蓝、紫）看作 6 个色带。 患有色觉障碍的 Deutan 无法区分以下两对颜色： (I) 红色和绿色， (II) 蓝色和紫色。 对于特定深浅的这 6…
  4. 4一对同胞 Abbey 和 Betty 还有其他六个朋友一起去参加书展。他们八个人随机排成一队等候一位著名作家的签名。求满足以下条件的概率： Abbey 排在队列第一位且 Betty 排在队列第六位， Abbey 排在队列第一位或 Betty…
  5. 5已知某种特定疾病的感染率约为万分之一（每 10 000 人中约有 1 人感染）。针对该疾病的一项检测准确率为 99.9%，即检测结果与真实情况相符的概率为 99.9%。求在已知某人检测结果呈阳性的条件下，此人确实患有该疾病的概率。 研究人员…
  6. 6一个袋子中装有一个绿色圆盘、rr 个红色圆盘和 2r2r 个蓝色圆盘，其中 r>1r>1。 提姆（Tim）和西姆（Sim）轮流从袋子中随机抽取一个圆盘来进行游戏。每次抽取后，将抽出的圆盘放回袋中。第一个抽到绿色圆盘的人获胜。如果西姆先开始游…
  7. 7凯莉（Kelly）有一盒标有从 A 到 Z 26 个字母的球形珠子，所有珠子的大小都相同。对于每个字母，恰好有 3 颗不同颜色的珠子：红色、蓝色和金色。凯莉计划通过将这些标有字母的珠子按特定顺序串起来制作一个钥匙扣。图 1 展示了一个带有…
  8. 8一家新奇玩意儿商店的老板Happie正在为他的商店组织一场宣传活动。利用他购得的一批超稀有Lubaba玩偶，他设计了一个游戏，玩家通过打开“神秘盒子”来尝试寻找隐藏在众多完全相同的游戏盒子之中的一个Lubaba玩偶。 游戏规则如下： - 玩…
  9. 9一位水果商从一家拥有大型种植园的供应商处采购橙子，该种植园中 1% 的橙子是腐烂的。该供应商在采摘橙子时不考虑橙子是否腐烂，并随机地将 20 个橙子装入每个箱子中。 随机变量 XX 表示随机选择的箱子中腐烂橙子的数量。结合具体情境，陈述…
  10. 10四面体骰子有四个面。两个均匀的四面体骰子，一红一蓝，其四个面分别标有数字 0、1、2 和 3。投掷这两个骰子，并记录两个骰子朝下的数字。随机变量 TT 定义为红色骰子上的得分乘以蓝色骰子上的得分。 求 TT 的概率分布。 求 E(T)E(T)…
  11. 11截至2022年底，某一群体中接种过 VV 剂新冠疫苗的人数百分比如下表所示，其中没有人接种5剂或更多剂疫苗。 李先生正在进行一项关于人们对新冠疫苗看法的调查。 [续] 现在假设这些假设确实成立。 已知 E(V)=2.72E(V)=2.72，求 Var(V)\mathrm{Var}(V)…
  12. 12一个圆形靶盘由3个同心圆组成，如下图所示。 这些圆具有相同的圆心，其半径分别为 10 cm、20 cm 和 30 cm。一名选手使用这个靶盘进行飞镖游戏。选手完全脱靶（未击中靶盘）的概率为 15\dfrac{1}{5}，如果他脱靶，则得 0…
  13. 13B 部分：统计学 [60 分] 已知事件 AA 和 BB 相互独立，证明 A′A' 和 BB 也相互独立。 已知事件 AA 和 BB 相互独立，证明 A′A' 和 BB 也相互独立。 A、BB 和 CC 是事件，使得事件 AA…
  14. 14一个店主收到了一批文具，包括笔记本、钢笔和修正带。历史数据表明，1%的笔记本、2%的钢笔和4%的修正带是有缺陷的。笔记本、钢笔和修正带的质量是相互独立的。店主决定将这些文具打包成180个包装出售，每个包装包含一本笔记本、两支钢笔和一卷修正带…
  15. 15一个袋子里有 3 个红球和 nn 个黄球，其中 n≥2n \ge 2。在一次游戏中，Joe 每次一个，不放回地从袋中随机取出 2 个球。Joe 从袋中取出的红球数量记为 TT。 求对于所有可能的 tt 值，P(T=t)\mathrm{P}(T = t)…
  16. 16对于事件 AA and BB，已知 P(A)=0.38\mathrm{P}(A) = 0.38，P(A∣B)=0.5\mathrm{P}(A \mid B) = 0.5 且 P(A∪B)=0.52\mathrm{P}(A \cup B) = 0.52。 求 P(B)\mathrm{P}(B)…
  17. 17由机器 AA 装入罐中的汤的质量（XX 克）服从均值为 μ\mu 克、标准差为 σ\sigma 克的正态分布。 已知 P(X<112)=P(X>128)=0.09121P(X < 112) = P(X > 128) = 0.09121，求 μ\mu 和 σ\sigma 的值…
  18. 18Pat 获邀参加一个游戏节目。在游戏中，她面前有一个装有 kk 个球的盒子，每个球上都印有 1、2、3 或 4 中的一个数字。摸到印有数字 ii 的球的概率是 ik\frac{i}{k}，其中 i=1,2,3,4i = 1, 2, 3, 4。每次摸出…
  19. 19抛掷一枚特定硬币时获得正面的概率为 pp。一个均匀的立方体骰子，其一个面写有数字“1”，两个面写有数字“2”，三个面写有数字“3”。 同时抛掷该硬币和骰子。随机变量 XX 定义如下： 如果硬币显示正面，则 X 为骰子点数的三倍。\text{如果硬币显示正面，则 } X \text{ 为骰子点数的三倍。}…
  20. 20进行一个掷四面体骰子的游戏。骰子的四个面分别标有数字 1、2、3、4。无论骰子着地时朝下的面是什么数字，就投掷相应数量的均匀硬币。玩家的最终得分 XX 是硬币正面朝上的数量。 确定 XX 的概率分布表。 求 E(X)\text{E}(X)…
  21. 21一家面包店生产成批的曲奇。平均而言，生产的有缺陷曲奇的比例为 pp，其中 0<p<10 < p < 1。这些曲奇每 20 个装一盒。一盒曲奇中有缺陷的曲奇数量记为 CC。 结合上下文，陈述一个使一盒中有缺陷的曲奇数量能很好地用二项分布建模所需…
  22. 22一家苗圃向长青私人有限公司（Evergreen Pte. Ltd.）供应植物。所供应植物的高度（以厘米为单位）可以认为服从分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^{2})。 多年来，长青公司因植物太矮退回了 6% 的供应植物，因太高退回了 4%…
  23. 23[对于本题，你应该清楚地说明你所使用的任何正态分布的参数值。] 每天晚饭后，班尼迪克特（Benedict）在晚上 8 点开始温习功课之前会给自己一些时间放松。他在晚上 7 点过 DD 分钟时吃完晚饭，其中 DD 服从分布 N(10,22)\text{N}(10, 2^2)…
  24. 24在本题中，你应该清楚地写出你所使用的任何正态分布的参数。 鸡的质量（单位：千克）服从正态分布 N(1.5,σ2)N(1.5,\sigma^2)，其中 7.65% 的鸡质量大于 1.6 kg。 求 σ\sigma 的值。 鸭的质量（单位：千克）服从正态分…
  25. 25一套共 9 张卡片，分别标有数字 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 和 6。进行一轮配对游戏，每次无放回地随机抽取两张卡片，一次抽一张。当抽出的两张卡片数字相同时，即视为配对成功。 已知两张卡片上的数字之和小于 55，求在一局…
  26. 26两个家庭计划一起去徒步旅行。李家（Lee family）有 10 人，包括 3 对已婚夫妇、3 名单身男性和 1 名单身女性。陈家（Tan family）有 14 人，包括 4 对已婚夫妇、1 名单身男性和 5 单身女性。随机挑选两人来组织…
  27. 27在超市的抽奖活动中，参与者将首先转动转盘，然后掷一枚均匀的六面骰子。 转盘有 9 个区域和一根指针，指针停在 9 个区域中任意一个区域的概率均等。转盘上有一个区域标有 “100”，三个区域标有“100”，三个区域标有 “4”，五个区域标有 “11”。 均匀的…
  28. 28一个袋子里装有10个红色和15个绿色的珠子，除颜色外它们无法区分。每次从袋子中随机抽取一个珠子，每次抽取后放回。 计算在第5次抽取或之前获得第一个红色珠子的概率。 已知在前5次抽取中没有获得绿色珠子，计算在第8次抽取中首次获得绿色珠子的概率…
  29. 29一个由25名学生组成的班级有15名女生和10名男生。学年初，将随机挑选4名学生组成临时班委会，包括“主席”、“副主席”、“财务”和“秘书”。求： 恰好选中两名女生的概率， “主席”和“副主席”为异性的概率， 在“财务”和“秘书”为异性的条件…
  30. 30下图显示了一个半径为 40 cm 的圆形靶盘，它被半径分别为 12 cm 和 24 cm 的两个同心圆划分为三个区域：金色、红色和蓝色。 向靶盘射箭，射中金色、红色和蓝色区域的得分分别为 10 分、6 分和 3 分。落在靶盘外的箭得 0 分…
  31. 31下图显示了一个半径为 40 cm 的圆形靶盘，由两个半径分别为 12 cm 和 24 cm 的同心圆分成三个区域：金色、红色和蓝色。 向靶盘射箭，射中金色、红色和蓝色区域的得分分别为 10 分、6 分和 3 分。落在靶盘外的箭得 0 分。…
  32. 32一名警察在路障检查中会检查他拦截的车辆中的每位乘客。随机拦截的车辆中的乘客人数是一个随机变量 XX。XX 的概率分布如下表所示。 | xx | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---|…
  33. 33Happie 是一家新奇玩意儿商店的老板，他正在为自己的商店组织一次宣传活动。利用他收购的一批极其稀有的 Lubaba 玩偶，他设计了一个游戏，玩家打开“盲盒”，试图在用于游戏的若干个完全相同的盒子中，找到隐藏在其中一个盒子里的 Lubab…
  34. 34在一次实验中，掷两个均匀的 nn 面骰子，每个骰子的面上分别标有数字 1，2，...，nn（其中 n≥4n \ge 4）。每个骰子出现的数字定义为与桌面接触的那个面上的数字。如果两个骰子出现的数字不同，则得分记为两个数字中较大的那…
  35. 35下表显示了一所私立学校中学习化学、物理和生物的男女学生人数。 | | 化学 | 物理 | 生物 | |---|---|---|---| | 男生 | 200 | 130 | 70 | | 女生 | 250 | 300 | 50 | 随机选择…
  36. 36在某个游戏摊位上，玩家向目标靶投掷飞镖以获得积分来兑换奖品。 目标靶可以建模为三个同心圆，其半径分别为一个单位、三个单位和五个单位。如图所示，如果飞镖落在标记为 50、25 或 0 的相应区域，玩家将分别获得 50…
  37. 37一个盒子包含 1 个红色圆盘、1 个蓝色圆盘和 nn 个黄色圆盘，其中 n≥2n \ge 2。从盒子中随机无放回地抽取两个圆盘。随机变量 YY 表示从盒子中抽取的黄色圆盘的数量。 证明 P(Y=1)=4n(n+1)(n+2)\text{P}(Y = 1) = \frac{4n}{(n+1)(n+2)}…
  38. 38一对兄弟姐妹艾比（Abbey）和贝蒂（Betty）与另外六个朋友一起去参加书展。他们八个人随机排成一队，准备获取一位著名作家的签名。求满足以下条件的概率： 艾比排在队伍第一，贝蒂排在第六。 艾比排在第一，或者贝蒂排在第二（或两者皆是）。 一…
  39. 39在这道题中，你应该说明你所使用的任何分布的参数。 当地的一个鱼市因其销售的两种鱼而闻名。可以假设每种鱼的质量（单位：kg）服从独立的正态分布，其均值和标准差如下表所示。 在特定的一天，陈太太带了 $50 到鱼市买鱼。红鲷鱼（Snapper…
  40. 40一个袋子里有 4 个红色筹码和 6 个蓝色筹码。从袋中随机无放回地抽取 4 个筹码。 计算满足以下条件的概率： 所有抽取的筹码都是蓝色的， 至少抽到 3 个蓝色筹码， 每种颜色的筹码至少抽到 1 个， 在已知每种颜色的筹码至少抽到 1 个的…
  41. 41在食堂的饮料摊上，既销售热饮也销售冷饮。每分钟售出的热饮数量服从均值为 0.4 的泊松分布。每分钟售出的冷饮数量服从一个独立的、均值为 0.5 的泊松分布。 证明在给定的 5 分钟时间段内，总共售出超过 4 杯饮料的概率为 0.468（保留…
  42. 42在本题中，你应该清晰地写出你所使用的所有分布，以及相应参数的值。 某公司用两台机器生产两种类型的毛线球。机器 AA 生产双股毛线球。在一段时间内，发现机器 AA 生产的毛线球中，有 80% 的长度小于 340 米，10% 的长度…
  43. 43在阳光岛共和国，所有男性公民在入伍服兵役之前都必须进行国民体能评估（NPFA）测试。根据历史数据，参加 NPFA 测试的男性中有 75% 能通过该测试，并被授予铜奖、银奖或金奖标准。已知 NPFA 测试的表现会影响这些国民服役人员晋升为军…
  44. 44一个均匀的正方体骰子，其各个面上分别标有四个数字 1、2、3 和 4 之一。投掷该骰子一次，朝上的面上的数字为得分 TT。已知 TT 的众数是 2，且 P(T=1)=P(T=4)=16\text{P}(T = 1) = \text{P}(T = 4) = \frac{1}{6}…
  45. 45一个 6 面骰子有三个面标有 '1'，两个面标有 '2'，一个面标有 '3'。另一个 6 面骰子有一个面标有 '1'，两个面标有 '2'，三个面标有 '3'。在一场游戏中，玩家同时掷这两个骰子。 - 如果朝上的数字相同，则从装有 3 张蓝色…
  46. 46一个袋子里装有四个红球和八个蓝球，其中两个红球和六个蓝球上印有数字“0”。其余的球上印有数字“1”。从袋中无放回地随机抽取三个球。 证明抽到至少一个蓝球的概率为 5455\frac{54}{55}。 求抽到每种颜色的球至少有一个的概率。 求抽到…
  47. 47Serene 玩一个简单的在线游戏，该游戏每次将一个棋子沿着直线移动一步。棋子从点 S 开始。在每轮中，棋子有 35\frac{3}{5} 的概率向前移动一步，或者有 25\frac{2}{5} 的概率向后移动一步。在线游戏在 10 轮后结…
  48. 48在一个游戏中，玩家投掷一枚各个面分别标有 1 到 6 的均匀骰子。如果玩家掷出 6，他将投掷第二次，在这种情况下，他的得分是 6 与第二次掷出数字之差的绝对值。否则，他的得分就是第一次掷出的数字。设玩家的得分为 XX。 证明 P(X=1)=736\mathrm{P}(X = 1) = \tfrac{7}{36}…
  49. 49Epple公司生产大量的E-phone。已知生产的E-phone中有 1% 是次品。 随机抽取了 10 部 E-phone 作为样本。求其中至少有 1 部但少于 3 部是次品的概率。 又随机抽取了另一个包含 10 部 E-phone 的样本…
  50. 50一个密码由 10 个字符组成。 密码的前 5 个字符由从集合 {A,B,C,D,E,F,G,H}\{A, B, C, D, E, F, G, H\} 中选择的 5 个字母组成，密码的后 5 个字符由从集合 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0\}…
  51. 51一家餐馆在店庆促销活动中免费赠送汉堡。总共将送出 80 个汉堡，包含 8 种不同的口味，每种口味 10 个。汉堡将被随机选中并每次送出一个。在这 8 种汉堡口味中，“咖喱”（Curry）和“香辣”（Spicy）汉堡最受顾客欢迎。在前四个送出…
  52. 52已知某种特定疾病在每 10,000 人中大约会感染 1 人。针对这种疾病的检测准确率为 99.9%，即检测结果有 99.9% 的时间与真实结果相符。求一个人在检测结果呈阳性的条件下，确实患有该疾病的概率。 研究人员正在调查戴口罩是否有助于减…
  53. 53申请帝国大学（Kingdom University）和海岛大学（Island University）的学生需要使用他们的国家考试成绩进行申请。两所大学意向申请者的成绩可以用独立的正态分布来建模，其均值和标准差如下表所示。 | | 平均成绩…
  54. 54从包含10个数字的集合 {0, 1, 2, . . . , 9} 中独立且随机地选择两个数字 XX 和 YY。事件 AA 和 BB 定义如下： A：X=Y+1X = Y + 1。 B：XX 和 YY 都小于 6。 求： P(A)。 P…
  55. 55巧克力工厂生产的每一批夹心巧克力中，都以16个为一盒进行包装。由于关于糖分含量的新健康指南，实施了质量控制测试，结果表明，平均而言，糖分含量超过推荐标准的巧克力比例为 pp。一盒中糖分含量超过推荐标准的巧克力数量记为 XX。 在该问题的…
  56. 56在一条特定的步道上测得的电动滑板车速度（XX km/h）和行人速度（YY km/h）服从正态分布，其均值和方差如下： 写出 μ\mu 的值并求出 σ\sigma 的值。 已知测得的电动滑板车中有一半的速度与均值的差在 aa km/…
  57. 57一个由24名学生组成的班级有11名女生和13名男生。为了组成班委会，随机挑选四名学生分别担任“班长”、“副班长”、“司库”和“秘书”。 求班委会中至少有一名女生和至少有一名男生的概率。 求“司库”和“秘书”都是女生的概率。
  58. 58在某所学生人数众多的学校中，有 p%p\%（其中 p>40p > 40）的学生学习 H2 生物。 在 40 名学生的随机样本中，学习 H2 生物的人数不少于 9 且不多于 20 的概率为 0.25。求 pp 的值。 已知 p=60p = 60。一…
  59. 59在本题中，你应该写出你所使用的任何分布的参数。 为了规范付费会员对健身房设施的使用，某健身房提供了一项指南，规定每位付费会员每次使用的最大时间为 90 分钟。然而，健身房的记录显示，其付费会员的使用时间 XX（分钟）服从分布 N(95,σ2)\text{N}(95, \sigma^2)…
  60. 60在任意一个月内，南北（NS）线发生铁路事故的平均次数为 mm。事故之间相互独立发生，并且由于技术故障导致铁路事故发生的概率由 pp 给出。已知在任意一周内，南北线发生至少一次铁路事故的概率为 0.25。一周被视为一个月的四分之一。 求…