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三角函数

任意大小角（以度或弧度表示）的六个三角函数

这个知识点的练习题

  1. 1已知 cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} 且 tan⁡x>0\tan x > 0，求 sin⁡2x\sin 2x， cos⁡x2\cos \frac{x}{2}。
  2. 2一只鸟停在离地面 20 米高的垂直电线杆顶部 TT 处，从地面上的一点 OO 仰望 TT 处鸟的仰角为 45∘45^\circ。这只鸟用了一秒钟的时间，以恒定速度水平飞行，从 TT 飞到远离 OO 的点 BB，整个飞行过程中保持离…
  3. 3已知 sin⁡A=−35\sin A = -\frac{3}{5} 且 cos⁡B=−817\cos B = -\frac{8}{17}，其中角 AA 和角 BB 在同一象限，求下列各项的精确值： tan⁡(A+B)\tan(A + B) cos⁡B2\cos \frac{B}{2}
  4. 4图中显示了一个呈三棱柱形状的巧克力棒，该巧克力棒的横截面是一个等腰三角形，其中 AB=ACAB = AC。 MC=(2+12) cmMC = \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)\text{ cm} 且 ∠ACB=45∘\angle ACB = 45^\circ…
  5. 5图示两条弦 AB 和 CD 相交于 X，使得角 CXB = 90∘90^\circ。已知 AC=5 cmAC = 5\ \text{cm}，BD=12 cmBD = 12\ \text{cm}，且角 BDC=θBDC = \theta。 证明 AB=5cos⁡θ+12sin⁡θAB = 5\cos\theta + 12\sin\theta…
  6. 6该图显示了两个三角形 DAB 和 DBC。已知 BD = 5 米且 BC = 2 米。角 DAB = 角 DBC = 角 DEC = 90∘90^{\circ}。角 ADB = θ\theta，且 θ\theta 是可以变化的。 证明 DEDE…
  7. 7一个质点 P 在距离定点 O 处 3 m 的位移处开始沿直线运动，初始速度为 8 m/s。质点在运动 tt 秒后的速度 vv m/s 由 v=5cos⁡t+2sin⁡t+cv = 5\cos t + 2\sin t + c 给出。 求 cc 的值。 求质点的初始速…
  8. 8一根长 50 cm 的木头，形状为均匀的圆柱体。 从该木头中切出一个棱柱，其横截面为圆的一个劣弓形，以 OO 为圆心，半径为 rr cm，且 ∠AOB=79π\angle AOB = \frac{7}{9}\pi 弧度。 已知该劣弓形的面积为 3×10−3 m23 \times 10^{-3}\text{ m}^2…
  9. 9图中显示了一个梯形 ABCDABCD。点 XX 在直线 ABAB 上，满足 DX=12 cmDX = 12\text{ cm} 且 CX=9 cmCX = 9\text{ cm}。∠ADX=θ∘\angle ADX = \theta^\circ 且 ∠DAX=∠DXC=∠XBC=90∘\angle DAX = \angle DXC = \angle XBC = 90^\circ…
  10. 10下图显示了两条水平直线 ABAB 和 CDCD，其中 LL 是直线 ABAB 和 CDCD 之间的垂直距离。 矩形 PQRSPQRS 分别在 PP 和 RR 处接触直线 ABAB 和 CDCD。 已知 PQ=6 cmPQ = 6\text{ cm}…
  11. 11下图展示了一个等腰三角形 ABCABC（其中 AB=AC=2 cmAB = AC = 2\text{ cm}）和一个正方形 BCDEBCDE。MM 是 BCBC 的中点。角 BAM=θBAM = \theta 且可以变化。 证明 ABEDC 的总面积为 16sin⁡2θ+4sin⁡θcos⁡θ cm216\sin^{2}\theta + 4\sin\theta\cos\theta\ \text{cm}^{2}…
  12. 12证明三角恒等式：csc⁡2A+2cot⁡A(cos⁡A+sin⁡A)2=csc⁡2A\dfrac{\csc^{2}A + 2\cot A}{(\cos A + \sin A)^{2}} = \csc^{2}A 由此求解方程：csc⁡2A+2cot⁡A=4(cos⁡A+sin⁡A)2对于   0≤x≤360∘.\csc^{2}A + 2\cot A = 4(\cos A + \sin A)^{2} \quad\text{对于 }\; 0 \le x \le 360^{\circ}.…
  13. 13在不使用计算器的情况下，化简下列三角函数。 sin⁡(x+4π3)\sin \left(x + \frac{4\pi}{3}\right) cos⁡75∘\cos 75^\circ tan⁡(θ−45∘)\tan(\theta - 45^\circ)
  14. 14图中显示了曲线 y=4x+5y = \sqrt{4x + 5} 的一部分。曲线在 PP 点处的法线与 xx 轴交于 TT。PP 的 xx 坐标为 5。已知 PTPT 是 PQPQ 的两倍，且 RQRQ 平行于 xx 轴， 求 PP 点…
  15. 15判断以下说法是否正确((均指在平面直角坐标系中，始边在xx轴正半轴上).(1)).(1)第一象限角一定是锐角;(2);(2)终边相同的角一定相等;(3);(3)小于90∘90^{\circ}的角一定是锐角;(4);(4)钝角的终…
  16. 16在图中，BE 与 AD 交于 F。AF = 7 cm 且 FD = 4 cm。∠ABF\angle ABF、∠ACD\angle ACD 和 ∠DEF\angle DEF 是直角。BCDF 是一个梯形，θ\theta 是一个锐角。 证明 BCDF 的…
  17. 17图中显示了一对相似三角形 YUXYUX 和 VUWVUW。点 YY 在直线 VUVU 上，使得 VY=12 cmVY = 12\text{ cm} 且 YU=20 cmYU = 20\text{ cm}。角 UVW=θUVW = \theta，其中 0∘≤θ≤90∘0^\circ \le \theta \le 90^\circ…
  18. 1812 对 0<x<2π0 < x < 2\pi，解方程 0.5sin⁡2x=3sin⁡x0.5\sin 2x = 3\sin x。 对介于 0∘0^\circ 和 180∘180^\circ 之间的 θ\theta 值，解方程 csc⁡(θ2−40∘)+5=0.\csc\left(\frac{\theta}{2}-40^\circ\right)+5=0.…
  19. 19证明 ddx(cot⁡x)=−csc⁡2x\dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2} x。 由此求 ∫π/4π/2−cot⁡2x dx\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cot^{2} x\, dx 的值。
  20. 20如图所示为一个尺寸为 14 cm ×\times 8 cm 的矩形块 PQRSPQRS 的侧视图，它放置在一个倾角为 θ∘\theta^\circ 的锐角斜面 VSVS 上。 斜面放置在水平面 STST 上，dd 是点 QQ 到 STST…
  21. 21已知 sin⁡A=−45\sin A = -\frac{4}{5}，tan⁡B=−512\tan B = -\frac{5}{12} 且 cos⁡A>0\cos A > 0，其中 AA 和 BB 处于不同的象限，在不使用计算器的情况下，求下列各式的值： cot⁡A\cot A， cos⁡(A+B)\cos(A + B)…
  22. 22在下图所示的三角形 ABCABC 中，边 ABAB 和 ACAC 分别为 (p−62) cm(p - 6\sqrt{2})\text{ cm} 和 (4−2) cm(4 - \sqrt{2})\text{ cm}。角 BAC=45∘BAC = 45^\circ。 已知三角形 ABCABC…
  23. 23如图所示为一块梯形纸板，其中 ∠BAD\angle BAD 和 ∠ABC\angle ABC 均为直角。CD=20 cmCD = 20\text{ cm}，BC=8 cmBC = 8\text{ cm} 且 ∠ADC=θ\angle ADC = \theta 弧度。 证明周长…
  24. 24在下图中，直线 OPOP 与 xx 轴正方向成 α∘\alpha^\circ 的角，使得 tan⁡α=0.2\tan \alpha = 0.2，且 QQ 位于 xx 轴上。 已知 OP=262OP = \frac{\sqrt{26}}{2} 单位长度，证明…
  25. 25写出 tan⁡−1p\tan^{-1} p 的值域。 已知 cos⁡−1k=x\cos^{-1} k = x，其中 0≤x≤π20 \le x \le \frac{\pi}{2}，求 cos⁡−1(−k)\cos^{-1}(-k) 的主值。
  26. 26证明恒等式 1+cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θ1+cos⁡θ=2csc⁡θ\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = 2\csc \theta。 由此，求在 0∘≤θ≤360∘0^\circ \le \theta \le 360^\circ…
  27. 27写出 sin⁡−1(−32)\sin^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) 的主值， tan⁡−1x\tan^{-1}x 的主值必须介于其间的数值， 使方程 4sin⁡2x=k4\sin^{2}x = k 有解的 kk 的取值范围。 证明恒等…
  28. 28已知 AA 和 BB 为锐角，使得 cos⁡A=35\cos A = \frac{3}{5} 且 tan⁡B=125\tan B = \frac{12}{5}。\n\n求下列各式的精确值：\n\ntan⁡2A\tan 2A,\n\nsin⁡(B+3π2),\n\n\sin\left(B + \dfrac{3\pi}{2}\right),\n\n…
  29. 29通过将 105∘105^\circ 写成两个角之和，在不使用计算器的情况下证明： sin⁡105∘=24(3+1).\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} + 1). 由此，用其参考角表示 105∘105^\circ，并求…
  30. 30证明 (sin⁡θ−cos⁡θ)(1+sin⁡θcos⁡θ)cos⁡3θ=tan⁡3θ−1.\frac{(\sin\theta-\cos\theta)(1+\sin\theta\cos\theta)}{\cos^{3}\theta}=\tan^{3}\theta-1. 由此，对于 0<θ<2π0<\theta<2\pi，求满…
  31. 31证明恒等式 sin⁡2A+cos⁡A1−cos⁡2A+sin⁡A=cot⁡A\frac{\sin 2A + \cos A}{1 - \cos 2A + \sin A} = \cot A 由此，针对 −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi，解方程 1−cos⁡4x+sin⁡2xsin⁡4x+cos⁡2x=5−2sec⁡22x\frac{1 - \cos 4x + \sin 2x}{\sin 4x + \cos 2x} = 5 - 2\sec^2 2x…
  32. 32如图所示，OC=4 mOC = 4\text{ m}，OD=7 mOD = 7\text{ m} 且角 CBO=角 DOC=角 DAO=90∘CBO = \text{角 } DOC = \text{角 } DAO = 90^\circ。 已知角 COB=θCOB = \theta，其中 0∘≤θ≤90∘0^\circ \le \theta \le 90^\circ…
  33. 33本题中不得使用计算器。 已知 tan⁡θ=35\tan\theta=\frac{3}{5} 且 θ\theta 是非锐角，求下列各项的精确值： cot θ+\theta + sec2θ^2 \theta。 sin θ\theta, cos(180∘−θ)(180^\circ - \theta)…
  34. 34一个质点沿直线运动，在经过定点 OO 后的 tt 秒时，它相对于 OO 的位移为 ss 米。质点的速度 v ms−1v\ \mathrm{ms}^{-1} 满足 v=6cos⁡4tv = 6\cos 4t。 写出质点的初速度。 求当质点的加速度等于 8 ms−28\ \mathrm{ms}^{-2}…
  35. 35已知 y=sec⁡xy = \sec x，证明 dydx=sec⁡xtan⁡x\frac{dy}{dx} = \sec x \tan x。 由此证明 y4−y2=(dydx)2y^4 - y^2 = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2。 已知 6x+12x+1\frac{6x + 1}{2x + 1}…
  36. 36角 AA 和 BB 均为钝角，且 tan⁡(A+B)=34\tan(A + B) = \frac{3}{4}。 在不使用计算器的前提下： 写出角 (A+B)(A + B) 的取值范围， 求 sin⁡(A+B)\sin(A + B) 的值， 已知 tan⁡B=−125\tan B = -\frac{12}{5}…
  37. 37如图所示为一个三角形 PQRPQR。 点 MM 在 QRQR 上，使得 QM=1QM = 1 个单位，且 MR=3MR = 3 个单位。 角 PRQ=90∘PRQ = 90^\circ，且 PRPR 为 xx 个单位。角 QPRQPR 和 MPRMPR 分别记…
  38. 38已知 θ\theta 是锐角且 sin⁡θ=s\sin \theta = s，用 ss 表示： tan⁡θ\tan \theta sec⁡θ\sec \theta。
  39. 39AA、BB 和 CC 是一个三角形的内角。已知 sin⁡(A+B)=1213\sin(A + B) = \frac{12}{13}。 求 tan⁡C\tan C 的精确值。清晰地写出你的解答过程。 求 cos⁡[(A+B)+π3]\cos \left[ (A + B) + \frac{\pi}{3} \right]…
  40. 40在 0∘<A<360∘0^\circ < A < 360^\circ 的范围内，解方程 3cos⁡A+3sec⁡A+7tan⁡A=03\cos A + 3\sec A + 7\tan A = 0。
  41. 41证明 tan⁡x1+sec⁡x+1+sec⁡xtan⁡x=2csc⁡x\dfrac{\tan x}{1+\sec x}+\dfrac{1+\sec x}{\tan x}=2\csc x。 由此，求方程 tan⁡2x1+sec⁡2x+1+sec⁡2xtan⁡2x=3sec⁡x\dfrac{\tan 2x}{1+\sec 2x}+\dfrac{1+\sec 2x}{\tan 2x}=3\sec x…
  42. 42如图所示， AC=35 cmAC = 35\text{ cm}， EC=15 cmEC = 15\text{ cm}，且角 ACB=θACB = \theta 弧度。 EDED 和 ABAB 均垂直于 DBDB。 清晰地解释为什么角 CED=θCED = \theta 弧度。…
  43. 43证明恒等式 sin⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡xsin⁡x=2csc⁡x.\frac{\sin x}{1-\cos x} + \frac{1-\cos x}{\sin x} = 2\csc x. 由此解方程 sin⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡xsin⁡x=5\frac{\sin x}{1-\cos x} + \frac{1-\cos x}{\sin x} = 5…
  44. 44证明恒等式 1+sin⁡xcos⁡x+cos⁡x1+sin⁡x=2sec⁡x\frac{1 + \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = 2 \sec x。 由此，在 0<x<2π0 < x < 2\pi 范围内解方程 1+sin⁡xcos⁡x+cos⁡x1+sin⁡x=4\frac{1 + \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = 4…
  45. 45已知 cos⁡A=12\cos A = \frac{1}{2} 且 sin⁡B=−12\sin B = -\frac{1}{\sqrt{2}}，其中 0∘<A<90∘0^\circ < A < 90^\circ 且 180∘<B<270∘180^\circ < B < 270^\circ。 不使…
  46. 46竞技跳台跳水比赛包括一名或两名运动员在不同高度处向水池中进行旋转、转体和翻腾动作。 图中显示了跳台设计的一个横截面，它由一个梯形塔 ABCDABCD 组成。ABAB 是运动员通往跳台的楼梯。 已知 ∠BAD=θ\angle BAD = \theta（其…
  47. 47已知 θ\theta 是锐角且 sin⁡θ=m\sin \theta = m，用 mm 表示： 另一个锐角 α\alpha 满足 tan⁡(θ−α)=−12\tan(\theta - \alpha) = -\frac{1}{2}。 cos⁡θ\cos \theta， cot⁡θ\cot \theta…
  48. 48函数 ff 定义为 f(x)=3sin⁡x−4cos⁡2xf(x)=3\sin x-4\cos 2x，其中 0<x<π20<x<\dfrac{\pi}{2}。 写出计算过程，并说明 ff 是单调递增函数还是单调递减函数。 点 PP 沿曲线 y=f(x)y=f(x) 运动，其 x 坐标…
  49. 49图中，ABAB 和 CDCD 是圆的弦，其中 AB=9 cmAB = 9\text{ cm} 且 CD=25 cmCD = 25\text{ cm}。已知 ADAD 和 BCBC 在 FF 处以 90∘90^\circ 相交，且 ∠BCD=θ\angle BCD = \theta…
  50. 50上图显示了一个公交候车亭 BCDBCD 的侧视图，其中 BC=4 mBC = 4\text{ m}，CD=1 mCD = 1\text{ m}，角 BCD=90∘BCD = 90^\circ 且角 CBA=θCBA = \theta。ABAB 是候车亭下的水泥路面，使得 DADA…
  51. 51已知 cot⁡θ=−34\cot \theta = -\frac{3}{4} 且 tan⁡θ\tan \theta 与 cos⁡θ\cos \theta 异号，在不求出 θ\theta 的情况下，求下列各项的准确值。 cos⁡(−θ)\cos(-\theta)， sin⁡2θ\sin 2\theta…
  52. 52证明 sin⁡105∘=6+24\sin 105^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}。 下图显示了三角形 ABCABC，其中 AB=4 cmAB = 4\ \text{cm}，角 ABC=105∘ABC = 105^\circ，且三角形 ABCABC…
  53. 53搬运工需要将一台冰箱送给客户。该冰箱可以建模为尺寸为 80 cm × 80 cm × 185 cm 的长方体。 证明 C 离地面的高度 hh cm 由 h=185sin⁡θ+80cos⁡θh = 185\sin\theta + 80\cos\theta 给出。 将 hh…
  54. 54已知 sin⁡A=0.3\sin A = 0.3，其中 AA 为钝角。 求下列三角比的值。 sec⁡A\sec A， cos⁡2A\cos 2A， tan⁡(A+45∘)\tan(A + 45^\circ)。
  55. 55证明 tan⁡x+cos⁡x1+sin⁡x=sec⁡x\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \sec x。 在不使用计算器的情况下，解释为什么方程 tan⁡x+cos⁡x1+sin⁡x=−13\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = -\frac{1}{3}…
  56. 56图中所示为一个面积为 18 cm2^2 的三角形 PQRPQR。底边 QRQR 的长度为 (42+8)(4\sqrt{2} + 8) cm。将线段 RQRQ 延长至点 SS，使得角 PSR=45∘PSR = 45^\circ。 求点 PP 到 QRQR…
  57. 57上图显示了两根长度分别为 4 m 和 9 m 的连杆 ABAB 和 BCBC，且 ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ。在点 AA 和 BB 处固定有滚轮，使得 AA 能够沿墙壁移动，而 BB 能够沿天花板移动。CC 距…
  58. 58不使用计算器，求整数 aa、bb 和 cc 的值，使得方程 5x−3=4+3 x5x - \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3}\,x 的解为 a+b3c.\frac{a + b\sqrt{3}}{c}. 已知 sin⁡A=35\sin A = \tfrac{3}{5}…
  59. 59图示为两个直角三角形 ABCABC 和 DECDEC。∠BAC=∠CDE=θ\angle BAC = \angle CDE = \theta，AB=3.5 cmAB = 3.5\text{ cm} 且 DE=6 cmDE = 6\text{ cm}。 证明 BD=6cos⁡θ+3.5sin⁡θBD = 6 \cos \theta + 3.5 \sin \theta…
  60. 60已知一条曲线满足 d2ydx2=−4sin⁡(2x+π)\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = -4\sin(2x+\pi)，且点 P(π2,π)P\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 在该曲线上。 曲线在 PP 点…