已知 θ\theta 是锐角且 sin⁡θ=s\sin \theta = s,用 ss 表示:

  1. (i)

    tan⁡θ\tan \theta

  2. (ii)

    sec⁡θ\sec \theta。

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完整解法

1(i)

1. Find an expression for $\cos \theta$ in terms of $s$.

Since sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, we have cos⁡2θ=1−s2\cos^2 \theta = 1 - s^2.
Given that θ\theta is acute, cos⁡θ>0\cos \theta > 0, so cos⁡θ=1−s2\cos \theta = \sqrt{1 - s^2}.

2. Express $\tan \theta$ in terms of $s$.

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=s1−s2\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{s}{\sqrt{1 - s^2}}

答案

s1−s2\frac{s}{\sqrt{1 - s^2}}

1(ii)

1. Express $\sec \theta$ in terms of $\cos \theta$

sec⁡θ=1cos⁡θ\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}

2. Substitute $\cos \theta$ in terms of $s$

Since sin⁡θ=s\sin \theta = s and θ\theta is acute, cos⁡θ=1−sin⁡2θ=1−s2\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - s^2}.

sec⁡θ=11−s2\sec \theta = \frac{1}{\sqrt{1 - s^2}}

答案

11−s2\frac{1}{\sqrt{1 - s^2}}

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