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假设检验概念与术语

原假设 H0H_0、备择假设 H1H_1、检验统计量、拒绝域、临界值、显著性水平和 pp 值的概念。

这个知识点的练习题

  1. 1一位营养学家声称，每根能量棒的平均卡路里含量为 350 cal。该营养学家收集并测量了 15 根能量棒的随机样本的卡路里含量。样本均值和方差分别为 347.2 cal 和 20.74 cal2\text{cal}^2。 该营养学家希望对其声称进…
  2. 2永初农场（Eng Choo Farm）的业主声称，其农场生产的鸡蛋平均每只含有 μ0\mu_0 毫克的胆固醇。 健康促进局从该农场随机抽取了 16 只鸡蛋，并测量了每只鸡蛋的胆固醇含量 xx 毫克。结果汇总如下： ∑x=2848\sum x = 2848…
  3. 3一项研究1^1表明，新加坡国立大学和南洋理工大学的学生平均每天睡眠 6.2 小时。安迪（Andy）调查了来自 SS 大学的 50 名学生，以估计每个人的每日睡眠时间。样本均值为 tˉ\bar{t} 小时，样本标准差为 2.2 小时。现在…
  4. 4一家面包店声称每个蛋糕的平均质量为 600 克。对 10 个蛋糕进行了随机抽样检验，并确定了每个蛋糕的质量 xx 克。结果发现： ∑(x−500)=800and∑(x−500)2=65764.\sum(x-500)=800\quad\text{and}\quad\sum(x-500)^2=65764.…
  5. 5S 大学的研究人员声称，真菌 A（一种通常存在于土壤和植物中的真菌菌株）能够在 90 天内降解经过紫外光或热预处理的聚丙烯（一种难以回收的塑料），降解量在每 100 克聚丙烯中至少达到 27 克。 M 大学的研究人员认为 S 大学研究人…
  6. 6在某诊所中，患者看医生的等待时间为 TT 分钟。随机抽取的 120 名患者的等待时间数据汇总如下： ∑(t−15)=123,and∑(t−15)2=2504.\sum (t-15) = 123, \quad \text{and} \quad \sum (t-15)^2 = 2504. 求…
  7. 7能量棒是运动员便利的营养来源。一根典型的能量棒重 30-50 克，可能提供大约 200-300 卡路里的热量。一家美国公司销售能量棒，该公司的一位营养学家声称，其产品“完美蛋白质”（Perfect Protein）能量棒的平均热量为 350…
  8. 8乙组：概率与统计［35分］ 根据过去的数据，某校学生完成 H2 数学 A-level 考试试卷的平均时间为 170 分钟。在 2024 年 6 月，陈老师认为这届学生还没有准备好迎接考试，需要超过 170 分钟才能完成该试卷。她将同…
  9. 9韩剧（Kdramas）在学生中非常流行，在闲暇时间吸引了他们的注意力。金老师（Mr. Kim）是一位高中数学老师，他想调查新加坡初级学院（JC）学生每天观看韩剧的平均时间。 为了获取 100 名初级学院学生的样本，他决定在自己的社交媒体上发…
  10. 10在训练中，一名士兵拆卸某类装备所需的时间（以秒为单位）是一个服从正态分布的连续随机变量 TT。TT 的标准差为 3.5，期望值为 35.1。在引入一套新的教学材料后，随机抽取了 nn 名士兵，发现这组士兵拆卸该装备的平均时间为 tˉ\bar{t}…
  11. 11一家医院引入了一种新的药物方案，以帮助患者更快地从病毒感染中康复。以前，平均康复时间为 7.2 天。 采用新方案后，对 40 名患者的随机样本进行了观察，并记录了他们的康复时间 xx（以天为单位）。结果汇总如下。 ∑(x−7.2)=−42and∑(x−7.2)2=648\sum (x - 7.2) = -42 \quad \text{and} \quad \sum (x - 7.2)^2 = 648…
  12. 12某制造商声称他生产的灯泡平均寿命至少为 1200 小时。抽取了 120 个灯泡的随机样本，并测量了每个灯泡的寿命（xx 小时）。结果汇总为 ∑(x−1200)=−60\sum (x-1200) = -60 和 ∑(x−1200)2=2014\sum (x-1200)^2 = 2014。…
  13. 13在正常持续使用下，声称 PI-99 计算器的平均电池寿命为 kk 小时。获得了一个由 13 台计算器组成的随机样本，并测量了每台计算器的电池寿命 xx 小时。结果汇总如下： ∑x=573.39and∑(x−xˉ)2=42.22\sum x = 573.39 \quad \text{and} \quad \sum (x - \bar{x})^2 = 42.22…
  14. 14在一个实验室中，检测员测试一块电路板所需的时间（以分钟为单位）是一个连续型随机变量 XX。XX 的标准差为 0.63，且在通常情况下，XX 的期望值为 5.82。由于引入了激励计划，实验室主管声称检测员进行测试的速度变快了。结果发现，…
  15. 15一家羽毛球拍公司的生产经理希望检查所生产的羽毛球拍的平均质量是否如设计规格中所述为 800g。羽毛球拍的总体标准差为 20g。他对由 nn 个羽毛球拍组成的大样本进行了假设检验。样本平均质量为 807g，且原假设在 2% 的显著性水平下被…
  16. 16某公司生产用于建筑的钢筋。生产经理声称钢筋的平均抗拉强度至少为 620 MPa。公司董事希望调查这一声称，并随机抽取了 80 根钢筋作为样本。该随机样本的抗拉强度 xx（单位：MPa）汇总如下： ∑(x−620)=−300,∑(x−620)2=36680.\sum (x-620) = -300,\qquad \sum (x-620)^2 = 36680.…
  17. 17EastHam 是一支处于竞争激烈联赛中的足球俱乐部。研究发现，EastHam 在比赛中打入首粒进球所需的平均时间为 50 分钟。教练试用了一种新的战术，并记录了本赛季随机抽取的 35 场比赛中，打入首粒进球所需的时间 xx 分钟。结果显…
  18. 18Dough 先生的工厂生产在当地超市销售的面粉，分为两种包装尺寸——普通装和大装。自动机器对面粉进行称重和包装。最近一次大停电导致他所有的机器在重新启动时都需要重新校准。 普通装面粉的平均质量应该为 1 kg。Dough 先生怀疑他的机器现…
  19. 19顾客消费的金额通常与他们在商店内逗留的时间相关。根据一项针对 500,000 次购物行程的全国性调查，顾客在服装店逗留的平均时间为 30 分钟。逗留时间（单位：分钟）的第一、第二和第三四分位数如下表所示： | 四分位数 | 数值（分钟） |…
  20. 20一家洗手液公司 Cleanser 声称，其每瓶洗手液的平均容量为 15 ml。消费者协会随机抽取了 80 瓶样本，并测量了每瓶的容量。结果发现样本均值和样本方差分别为 xˉ\bar{x} 和 2 ml22\ \text{ml}^2。在 5% 的显…
  21. 21某款特定型号汽车的油耗里程 XX（单位：公里/升汽油）是一个随机变量，其均值为 μ\mu 公里/升。一家石油公司对他们的汽车汽油进行了改良，旨在提高汽车的油耗里程。该公司使用该特定型号的 13 辆汽车对改良后的汽油进行了初步测试。测试结…
  22. 22根据长期观察，格里夫斯初级学院（GJC）男生完成 2.4 公里跑步的平均时间已知为 11.3 分钟，标准差为 2.2 分钟。作为对当前体能训练计划评估的一部分，GJC 的体育（PE）部门决定在 2.5% 的显著性水平下测试 GJC 男生完成…
  23. 23一家工厂生产长度为 10 cm 的红肠卷。为了进行质量控制，生产主管希望从一台特定机器生产的红肠卷中抽取一个随机样本。 说明在这种情境下，样本是随机的意味着什么。 一个由 60 个红肠卷组成的随机样本，其长度为 xx cm，数据汇总如下。…
  24. 24EastHam 是一家处于竞争激烈联赛中的足球俱乐部。研究发现，EastHam 在比赛中攻入首球的平均时间为 50 分钟。教练试验了一种新的战术，并在该赛季中随机抽取了 35 场比赛，记录了攻入首球所需的时间 xx（分钟）。结果发现总用时…
  25. 25一家医院引入了一种新的药物疗法，以帮助患者更快地从病毒感染中康复。此前，平均康复时间为 7.2 天。 采用新疗法后，观察了 40 名患者的随机样本，并记录了他们的康复时间 xx（天）。结果总结如下。 ∑(x−7.2)=−42and∑(x−7.2)2=648\sum (x-7.2) = -42 \quad\text{and}\quad \sum (x-7.2)^2 = 648…
  26. 26一位研究人员正在对一种新栽培品种的土豆进行试验。一块田地里有 20 行新栽培品种的土豆植株，每行有 80 株。研究人员打算挖出 8 株并测量每株植株产出的土豆质量。 描述他如何能从单行 80 株植株中抽取一个含有 8 株植株的系统抽样样本，…
  27. 27一名 17 岁学生完成 5 公里长跑所需的时间 TT（以分钟为单位）是一个随机变量，其均值为 30。针对这些学生引入新的训练计划后，抽取了一个容量为 nn 的随机样本。发现该样本的平均时间和标准差分别为 28.9 分钟和 4.0 分钟。…
  28. 28在一家工厂中，两台独立的机器 A 和 B 将面粉装入包装袋中，包装袋上标明每袋 1.5 kg。在一次质量控制检查中，生产经理随机抽取了由机器 A 填装的 40 袋面粉进行检查。这 40 袋面粉的质量（xx kg）记录如下。 ∑x=60.32∑x2=90.993\sum x = 60.32 \quad \sum x^2 = 90.993…
  29. 29Dough先生的工厂生产在当地超市销售的袋装面粉，包装分为两种规格：普通装和大装。自动机器对称重和包装进行处理。最近一次严重停电导致所有机器在重启时都需要重新校准。 普通装面粉的平均质量应该为 1 kg。Dough先生怀疑他的机器现在包装的…
  30. 30在某厂家生产的一盒芝士圈中，钠的质量 XX 毫克（mg）是一个连续随机变量，其均值为 μ0\mu_0。在改变生产链后，对随机抽取的 15 盒芝士圈进行了分析。各盒中钠的质量（以 mg 为单位）汇总如下： ∑(x−1180)=17.5 ,∑(x−1180)2=190.5\displaystyle \sum (x-1180)=17.5\,,\qquad \displaystyle \sum (x-1180)^2=190.5…
  31. 31Eastham 是一家处于竞争激烈联赛中的足球俱乐部。研究发现，Eastham 在一场比赛中打入首粒进球所需的平均时间为 50 分钟。教练试验了一种新的战术，并记录了本赛季随机抽取的 35 场比赛中打入首粒进球所需的时间 xx（分钟）。结…
  32. 32在一家网上商店中，售出一只手表所花费的时间（以小时为单位）是一个呈正态分布的连续随机变量 XX。XX 的标准差为 0.68 小时，其期望值为 1.75 小时。在进行了一次强势的广告宣传活动后，发现售出 8 只手表所需的总时间为 11 小…
  33. 33Tim 是一所学生人数众多的学校的学生。作为其课题的一部分，Tim 想要采访他的一些同学，以获取有关学校的一些反馈。 假设学校在一年级和二年级有相同数量的学生，且每个年级的男生和女生人数相等。如果 Tim 想要采访该校的 80 名学生，解释…
  34. 34某巧克力制造公司生产巧克力棒。巧克力棒的包装上注明每根巧克力棒的质量为 200 克。 生产经理收到投诉称巧克力棒的质量被夸大了，他想要进行一次假设检验。 解释经理应该进行单侧检验还是双侧检验。为该检验写出适当的假设，并定义你使用的所有符号。…
  35. 35一家保险公司宣称，汽车保险理赔的平均支付金额为 $10 000。审计员检查了 25 个理赔案件的随机样本，并记录了每个案件的支付金额。支付金额 $ xx 汇总如下： ∑(x−10 000)=−6560and∑(x−10 000)2=7 493 500.\sum(x - 10\ 000) = -6560 \quad \text{and} \quad \sum(x - 10\ 000)^2 = 7\ 493\ 500.…
  36. 36某一特定的流媒体服务平台声称，用户每次访问该平台观看内容的时间平均超过 15 分钟。该平台的一个数据分析团队想要验证这一说法。他们随机抽取了 80 名用户作为样本，并记录了每位用户在单次访问中观看内容的时间。结果发现观看时间的样本均值为 1…
  37. 37从 18 岁年轻男性的总体中随机抽取了 27 个个体，测量了每个个体的右脚长度，精确到厘米。数据如以下表格所示。 使用此数据，在 2% 的显著性水平下检验 18 岁男性的平均脚长是否大于 27 cm，并说明你做出的任何假设。 从 18 岁年…
  38. 38在某制造商生产的一盒芝士圈中，钠的质量 XX 毫克是一个均值为 μ0\mu_0 的连续随机变量。随着生产线的改变，分析了随机抽取的15盒芝士圈。盒子中钠的质量（单位：毫克）汇总如下： ∑(x−1180)=17.5 ,∑(x−1180)2=190.5 .\sum (x-1180)=17.5\,,\qquad \sum (x-1180)^2 =190.5\,.…
  39. 39在 AquaV 游泳培训学校中，学员游完一圈泳池所需的平均时间为 35 秒。该学校采用了一项新的国际培训计划 Breakthru，为期 3 个月，并希望分析 Breakthru 在缩短学员用时方面是否有效。 抽取了 30 名学员作为样本，他…
  40. 40陈先生（学校的行政经理）认为他所在学校的 JC 学生在学校食堂购买并享用午餐平均需要 22 分钟。 在数据收集过程中，陈先生使用学校的电脑程序，根据学生的法定姓名首字母顺序，为他所在学校的每个 JC 学生分配一个号码，并使用随机数生成器抽取…
  41. 41一位教师顾老师怀疑，学生每天使用手机的平均时间为 μ0\mu_0 分钟。他随机抽取了该校 97 名拥有手机的学生，并记录了每位学生在随机选择的一天中玩手机的时间。结果如下表所示。 | 每天所花时间（精确到分钟） | 60 | 65 | 72…