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概率常用结论

以下公式的应用：\n- P(A′)=1−P(A)\mathrm{P}(A')=1-\mathrm{P}(A)\n- P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)\n- P(A∩B)=P(A∣B) P(B)\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A\mid B)\,\mathrm{P}(B)

这个知识点的练习题

  1. 1已知事件 AA 和 BB 满足 P(B)=13\mathrm{P}(B) = \frac{1}{3}，P(A∣B)=25\mathrm{P}(A|B) = \frac{2}{5} 且 P(A∪B)=35\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{3}{5}。…
  2. 2凯（Kai）和里奥（Leo）两兄弟是定期训练的双项全能（跑步和骑行）运动员。在每一天中，凯骑行的概率为 34\frac{3}{4}，跑步的概率为 35\frac{3}{5}，两者都进行的概率为 pp。 平均而言，里奥在一周的 7 天中有…
  3. 3一对同胞 Abbey 和 Betty 还有其他六个朋友一起去参加书展。他们八个人随机排成一队等候一位著名作家的签名。求满足以下条件的概率： Abbey 排在队列第一位且 Betty 排在队列第六位， Abbey 排在队列第一位或 Betty…
  4. 4已知某种特定疾病的感染率约为万分之一（每 10 000 人中约有 1 人感染）。针对该疾病的一项检测准确率为 99.9%，即检测结果与真实情况相符的概率为 99.9%。求在已知某人检测结果呈阳性的条件下，此人确实患有该疾病的概率。 研究人员…
  5. 5对于事件 AA 和 BB，已知 P(A)=0.55\mathrm{P}(A) = 0.55，P(B)=0.65\mathrm{P}(B) = 0.65 且 P(A∪B)=0.93\mathrm{P}(A \cup B) = 0.93。 求 P(A∩B)\mathrm{P}(A \cap B)…
  6. 6对于事件 AA 和 BB，已知 P(A′)=0.3\mathrm{P}(A') = 0.3 且 P(B)=0.55\mathrm{P}(B) = 0.55。 已知事件 AA 和 BB 相互独立，求 P(A∩B)\mathrm{P}(A \cap B)。 已知事件 AA…
  7. 7已知事件 AA 和 BB 满足 P(A)=0.7P(A)=0.7 且 P(B)=0.8P(B)=0.8。证明 P(A∩B)≥0.5P(A \cap B) \ge 0.5 若 P(A′ ∪ B)=0.85P(A'\ \cup\ B)=0.85，求 P(A∣B)P(A\mid B)。说明并解释 AA 和…
  8. 8一位水果商从一家拥有大型种植园的供应商处采购橙子，该种植园中 1% 的橙子是腐烂的。该供应商在采摘橙子时不考虑橙子是否腐烂，并随机地将 20 个橙子装入每个箱子中。 随机变量 XX 表示随机选择的箱子中腐烂橙子的数量。结合具体情境，陈述…
  9. 9一家信用卡公司有一条专门的 24 小时电话热线，供客户报告信用卡遗失或申请提高信用额度。结果发现，在任何 10 分钟的期间内，平均会收到三个报告信用卡遗失的电话和两个申请提高信用额度的电话。此外，每 15 分钟平均会收到六个关于其他客户服务…
  10. 10将单词 PERIMETER 中的字母排成一排。 求这九个字母的不同排列数。 求在两个 R 之间至少有 6 个字母的不同排列数。 将其中一个 E 移除，剩下的字母随机排成一排。 求没有相邻字母相同的概率。
  11. 11一个圆形靶盘由3个同心圆组成，如下图所示。 这些圆具有相同的圆心，其半径分别为 10 cm、20 cm 和 30 cm。一名选手使用这个靶盘进行飞镖游戏。选手完全脱靶（未击中靶盘）的概率为 15\dfrac{1}{5}，如果他脱靶，则得 0…
  12. 12B 部分：统计学 [60 分] 已知事件 AA 和 BB 相互独立，证明 A′A' 和 BB 也相互独立。 已知事件 AA 和 BB 相互独立，证明 A′A' 和 BB 也相互独立。 A、BB 和 CC 是事件，使得事件 AA…
  13. 13一个店主收到了一批文具，包括笔记本、钢笔和修正带。历史数据表明，1%的笔记本、2%的钢笔和4%的修正带是有缺陷的。笔记本、钢笔和修正带的质量是相互独立的。店主决定将这些文具打包成180个包装出售，每个包装包含一本笔记本、两支钢笔和一卷修正带…
  14. 14在本题中，你应该清晰地写出所使用的任何分布的相应参数值。 足球的直径服从均值为 22.0 cm、标准差为 0.3 cm 的正态分布，而篮球的直径服从均值为 μ\mu cm、标准差为 0.4 cm 的正态分布。 随机选取的篮球直径比随机选取…
  15. 15对于事件 AA and BB，已知 P(A)=0.38\mathrm{P}(A) = 0.38，P(A∣B)=0.5\mathrm{P}(A \mid B) = 0.5 且 P(A∪B)=0.52\mathrm{P}(A \cup B) = 0.52。 求 P(B)\mathrm{P}(B)…
  16. 16事件 AA、BB 和 CC 满足 P(A)=0.1\mathrm{P}(A) = 0.1、P(B)=0.2\mathrm{P}(B) = 0.2 且 P(C)=c\mathrm{P}(C) = c。AA 和 BB 是独立事件。AA 和 CC 是互斥事件。 写…
  17. 17第二部分：概率与统计 [60分] 若 P(B∣A)=0.2\text{P}(B \mid A) = 0.2，P(A∣B)=0.6\text{P}(A \mid B) = 0.6 且 P(A′∩B′)=0.3\text{P}(A' \cap B') = 0.3，求 P(A∩B)\text{P}(A \cap B)…
  18. 18一个由 15 名学生组成的团队被选去参加户外拓展活动。其中一名学生自愿担任领队，另一名学生自愿担任副领队。他们决定玩一些破冰游戏，所有 15 名学生围坐成一个圈。 求两位领队不相邻而坐的概率。 在破冰游戏期间，大家发现其余 13 名学生中有…
  19. 19已知事件 A 和 B 满足 P(A∪B′)=23P(A \cup B') = \frac{2}{3} 且 P(A)=14P(A) = \frac{1}{4}。 求 P(A∣A∪B)P(A \mid A \cup B)。 若事件 A 和 B 独立，求 P(B)P(B)。 若事件 A…
  20. 20随机变量 XX 服从均值为 μ\mu、方差为 σ2\sigma^2 的正态分布。 求 P(X>μ+0.05σ)\mathrm{P}(X > \mu + 0.05\sigma)。 对 XX 进行 nn 次独立观测得到的随机样本的均值记为 X‾\overline{X}…
  21. 21一家面包店生产成批的曲奇。平均而言，生产的有缺陷曲奇的比例为 pp，其中 0<p<10 < p < 1。这些曲奇每 20 个装一盒。一盒曲奇中有缺陷的曲奇数量记为 CC。 结合上下文，陈述一个使一盒中有缺陷的曲奇数量能很好地用二项分布建模所需…
  22. 22两个事件 AA 和 BB 满足 P(A)=pP(A)=p 且 P(B)=54pP(B)=\frac{5}{4}p。已知 P(A∪B)=P(A∣B)=0.6P(A\cup B)=P(A\mid B)=0.6。 求 pp 的值。 解释事件 A′A' 和 BB 是否独立。 事件 CC…
  23. 23假设在随机选取的 10 分钟内，到达机场出租车停靠区的 Green Top 出租车和 EZCab 出租车的数量是相互独立的泊松变量，均值分别为 3 和 5。 证明在随机选取的 10 分钟内，至少有 7 辆出租车到达停靠区的概率为 0.687…
  24. 24对于事件 AA、BB 和 CC，已知 P(A)=P(A∩B)=15P(A) = P(A \cap B) = \tfrac{1}{5} 且 P(B)=2P(A)P(B) = 2P(A)。还已知 P(B∩C)=310.P(B \cap C) = \tfrac{3}{10}. 求 P(A∩C)P(A \cap C)…
  25. 25在本题中，你应该清楚地写出你所使用的任何正态分布的参数。 鸡的质量（单位：千克）服从正态分布 N(1.5,σ2)N(1.5,\sigma^2)，其中 7.65% 的鸡质量大于 1.6 kg。 求 σ\sigma 的值。 鸭的质量（单位：千克）服从正态分…
  26. 26一套共 9 张卡片，分别标有数字 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 和 6。进行一轮配对游戏，每次无放回地随机抽取两张卡片，一次抽一张。当抽出的两张卡片数字相同时，即视为配对成功。 已知两张卡片上的数字之和小于 55，求在一局…
  27. 27随机变量 XX 服从分布 N(μ,σ2)\mathrm{N}(\mu, \sigma^2)。 已知 P(X>k)=0.45\mathrm{P}(X > k) = 0.45，求 P(X>2μ−k)\mathrm{P}(X > 2\mu - k) 的值。 已知 μ=4\mu = 4 且…
  28. 28可以假设在随机选择的 10 分钟时间段内，到达机场出租车停靠区的 Green Top 出租车和 EZCab 出租车数量是相互独立的泊松变量，均值分别为 3 和 5。 证明在随机选择的 10 分钟时间段内，至少有 7 辆出租车到达停靠区的概率…
  29. 29一个袋子里装有10个红色和15个绿色的珠子，除颜色外它们无法区分。每次从袋子中随机抽取一个珠子，每次抽取后放回。 计算在第5次抽取或之前获得第一个红色珠子的概率。 已知在前5次抽取中没有获得绿色珠子，计算在第8次抽取中首次获得绿色珠子的概率…
  30. 30为了减少道路上的超速事件数量，S国的交警在三个繁忙的交通路口 A、B 和 C 设置了交通摄像头，以监控通过这些路口的车辆速度。路口 A、B 和 C 的摄像头捕获的超速车辆平均数分别为每 3 小时 2 辆、每 4 小时 5 辆和每小时 λ\lambda…
  31. 31下表显示了一所私立学校中学习化学、物理和生物的男女学生人数。 | | 化学 | 物理 | 生物 | |---|---|---|---| | 男生 | 200 | 130 | 70 | | 女生 | 250 | 300 | 50 | 随机选择…
  32. 32绿地工厂（Green Earth Factory）生产太阳能电池板。平均而言，生产的太阳能电池板中有 2% 被发现存有缺陷。太阳能电池板以每批 10 块的形式包装。 已知每批缺陷太阳能电池板的数量服从二项分布。 结合太阳能电池板生产的背景，…
  33. 33一对兄弟姐妹艾比（Abbey）和贝蒂（Betty）与另外六个朋友一起去参加书展。他们八个人随机排成一队，准备获取一位著名作家的签名。求满足以下条件的概率： 艾比排在队伍第一，贝蒂排在第六。 艾比排在第一，或者贝蒂排在第二（或两者皆是）。 一…
  34. 34一个袋子里有 4 个红色筹码和 6 个蓝色筹码。从袋中随机无放回地抽取 4 个筹码。 计算满足以下条件的概率： 所有抽取的筹码都是蓝色的， 至少抽到 3 个蓝色筹码， 每种颜色的筹码至少抽到 1 个， 在已知每种颜色的筹码至少抽到 1 个的…
  35. 35在食堂的饮料摊上，既销售热饮也销售冷饮。每分钟售出的热饮数量服从均值为 0.4 的泊松分布。每分钟售出的冷饮数量服从一个独立的、均值为 0.5 的泊松分布。 证明在给定的 5 分钟时间段内，总共售出超过 4 杯饮料的概率为 0.468（保留…
  36. 36一组十个人由四名单身女性、两名单身男性和两对夫妇组成。这十个人随机排成一个圆圈。 求这四名单身女性全部彼此不相邻的概率。 求四名单身女性相邻或两名单身男性相邻（但两者不同时发生）的概率。 其中一人离开了小组，剩下的九人决定坐在一张圆桌旁，圆…
  37. 37在阳光岛共和国，所有男性公民在入伍服兵役之前都必须进行国民体能评估（NPFA）测试。根据历史数据，参加 NPFA 测试的男性中有 75% 能通过该测试，并被授予铜奖、银奖或金奖标准。已知 NPFA 测试的表现会影响这些国民服役人员晋升为军…
  38. 38一个 6 面骰子有三个面标有 '1'，两个面标有 '2'，一个面标有 '3'。另一个 6 面骰子有一个面标有 '1'，两个面标有 '2'，三个面标有 '3'。在一场游戏中，玩家同时掷这两个骰子。 - 如果朝上的数字相同，则从装有 3 张蓝色…
  39. 39一个袋子里装有四个红球和八个蓝球，其中两个红球和六个蓝球上印有数字“0”。其余的球上印有数字“1”。从袋中无放回地随机抽取三个球。 证明抽到至少一个蓝球的概率为 5455\frac{54}{55}。 求抽到每种颜色的球至少有一个的概率。 求抽到…
  40. 40在一场有大量选手参加的 10 公里赛跑中，完赛时间服从正态分布。40 分钟后，有 10% 的选手完成了比赛。1 小时后，仍有 35% 的选手尚未完赛。最先完赛的前 20% 的选手将获得奖牌。 证明选手的跑步时间的均值为 55.4 分钟，标准…
  41. 41一家制造公司生产医用口罩。这些医用口罩被随机装入每盒 50 个的包装盒中。平均而言，有 15% 的医用口罩是有缺陷的。一盒 50 个口罩中缺陷口罩的数量记为 XX。 (i) 结合具体情境，陈述将一盒中缺陷医用口罩的数量用二项分布很好地进行…
  42. 42某市气象局预报称：明天本市的降水概率为80%，这句话指的是（ ） A. 明天本市80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B. 明天本市一定下雨 C. 明天本市80%的地区下雨，20%的地区不下雨 D. 明天本市不下雨的可能性只有20%
  43. 43Ang 家、Bao 家和 Chew 家分别有三名、五名和四名成员。这三个家庭被邀请参加一场婚宴。 由于场地限制，每个家庭只能有 2 名成员出席宴会。 求选择这 6 名出席者的方案数。 将部分 (a) 中选出的 6 名出席者随机安排在一张圆桌…
  44. 44为了保持图书馆图书的良好状态，任何多于 7 处瑕疵的图书都将被捐赠出去。参考书区每本书的平均瑕疵数为 3。参考书中的瑕疵数量是随机变量 RR。 在本题情境下，陈述将 RR 建模为泊松分布所需的两个假设。 求一本参考书被捐赠出去的概率。…
  45. 45一家商店出售袋装苹果，每袋装有 12 个苹果。每袋中未成熟苹果的平均数量为 2.16。 写出将每袋中未成熟苹果的数量很好地建模为二项分布所需的两个假设。 如果一袋苹果中未成熟的苹果数量超过 3 个，则该袋苹果将降价出售。 求随机选择的一袋苹…
  46. 46汽车随机到达码头，平均每5分钟到达一辆。渡轮将汽车从码头运送到一个岛上。渡轮一次最多可运送 3 辆汽车。渡轮在满载或到达后半小时（以较早者为准）驶离码头。 如果渡轮到达时码头是空的，求渡轮满足以下条件的概率： (i) 载有 2 辆汽车驶离…
  47. 47Epple公司生产大量的E-phone。已知生产的E-phone中有 1% 是次品。 随机抽取了 10 部 E-phone 作为样本。求其中至少有 1 部但少于 3 部是次品的概率。 又随机抽取了另一个包含 10 部 E-phone 的样本…
  48. 48一个密码由 10 个字符组成。 密码的前 5 个字符由从集合 {A,B,C,D,E,F,G,H}\{A, B, C, D, E, F, G, H\} 中选择的 5 个字母组成，密码的后 5 个字符由从集合 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0\}…
  49. 49一袋中有55个白球，33个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现1010次时停止，设停止时共取了ξξ次球，则P(ξ=12)P(ξ=12)等于()() A. C1210(38)10⋅(58)2C_{12}^{10}( \dfrac {3}{8})^{10}⋅( \dfrac {5}{8})^{2}…
  50. 50在本题中，你应该清晰地写出你使用的所有分布，以及相应参数的值。 当地的一家超市销售两种土豆：褐土豆（Russet potatoes）和荷兰土豆（Holland potatoes）。褐土豆的质量（以克为单位）服从分布 N(200,302)\mathrm{N}(200, 30^2)…
  51. 51一家餐馆在店庆促销活动中免费赠送汉堡。总共将送出 80 个汉堡，包含 8 种不同的口味，每种口味 10 个。汉堡将被随机选中并每次送出一个。在这 8 种汉堡口味中，“咖喱”（Curry）和“香辣”（Spicy）汉堡最受顾客欢迎。在前四个送出…
  52. 52从包含10个数字的集合 {0, 1, 2, . . . , 9} 中独立且随机地选择两个数字 XX 和 YY。事件 AA 和 BB 定义如下： A：X=Y+1X = Y + 1。 B：XX 和 YY 都小于 6。 求： P(A)。 P…
  53. 53已知事件 AA、BB 和 CC 满足 P(A)=0.8P(A)=0.8，P(B)=0.2P(B)=0.2 且 P(C)=0.6P(C)=0.6。此外还已知 P(A∩B)=P(B)P(A\cap B)=P(B) 且 P(B∩C)=0.1P(B\cap C)=0.1。 求以下各项的最大可能值和最小可能值的精…
  54. 54一个由24名学生组成的班级有11名女生和13名男生。为了组成班委会，随机挑选四名学生分别担任“班长”、“副班长”、“司库”和“秘书”。 求班委会中至少有一名女生和至少有一名男生的概率。 求“司库”和“秘书”都是女生的概率。
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    第二部分：概率与统计 [60 分] 对于事件 AA 和 BB，已知 P(B′)=0.51\mathrm{P}(B') = 0.51 且 P(A′∩B′)=0.15\mathrm{P}(A' \cap B') = 0.15。 求 P(A∩B′)\mathrm{P}(A \cap B')…

  56. 56已知事件 AA、BB 和 CC 满足 P(A)=0.7P(A)=0.7，P(B)=0.5P(B)=0.5，P(C∣A′)=0.6P(C\mid A')=0.6 且 P(A∣C′)=0.76P(A\mid C')=0.76。 求 P(A∩B)P(A \cap B) 的最大值和最小值。 求 P(C∩A′)P(C \cap A')…
  57. 57在任意一个月内，南北（NS）线发生铁路事故的平均次数为 mm。事故之间相互独立发生，并且由于技术故障导致铁路事故发生的概率由 pp 给出。已知在任意一周内，南北线发生至少一次铁路事故的概率为 0.25。一周被视为一个月的四分之一。 求…
  58. 58事件 AA 和 BB 满足 P(A)=a\text{P}(A) = a 且 P(B)=b\text{P}(B) = b。 AA 和 BB 是互斥事件。 求 P(A′∩B′)\text{P}(A' \cap B') 的表达式。 画一个韦恩图来阐明 A′A' 和…
  59. 59某公司生产陶瓷花瓶。每天会对固定数量的随机抽取花瓶进行检验，每天发现的缺陷花瓶数量记为 XX。 结合上下文，写出使 XX 能很好地用二项分布建模所需的两个假设。 现在假设 XX 服从分布 B(30,0.04)\mathrm{B}(30,0.04)。…
  60. 60已知某大城市中有 8% 的人口使用名为 Voyager 的特定网页浏览器。一位研究人员希望采访该城市中使用 Voyager 的人，并一次一个地随机挑选人员。 求他找到的第一位使用 Voyager 的人是第三个被选中者的概率。 现在选择 nn…