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条件概率

简单情境下条件概率的计算。

这个知识点的练习题

  1. 1已知事件 AA 和 BB 满足 P(B)=13\mathrm{P}(B) = \frac{1}{3}，P(A∣B)=25\mathrm{P}(A|B) = \frac{2}{5} 且 P(A∪B)=35\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{3}{5}。…
  2. 2凯（Kai）和里奥（Leo）两兄弟是定期训练的双项全能（跑步和骑行）运动员。在每一天中，凯骑行的概率为 34\frac{3}{4}，跑步的概率为 35\frac{3}{5}，两者都进行的概率为 pp。 平均而言，里奥在一周的 7 天中有…
  3. 3一对同胞 Abbey 和 Betty 还有其他六个朋友一起去参加书展。他们八个人随机排成一队等候一位著名作家的签名。求满足以下条件的概率： Abbey 排在队列第一位且 Betty 排在队列第六位， Abbey 排在队列第一位或 Betty…
  4. 4已知某种特定疾病的感染率约为万分之一（每 10 000 人中约有 1 人感染）。针对该疾病的一项检测准确率为 99.9%，即检测结果与真实情况相符的概率为 99.9%。求在已知某人检测结果呈阳性的条件下，此人确实患有该疾病的概率。 研究人员…
  5. 5已知事件 AA 和 BB 满足 P(A)=0.7P(A)=0.7 且 P(B)=0.8P(B)=0.8。证明 P(A∩B)≥0.5P(A \cap B) \ge 0.5 若 P(A′ ∪ B)=0.85P(A'\ \cup\ B)=0.85，求 P(A∣B)P(A\mid B)。说明并解释 AA 和…
  6. 6对于事件 AA and BB，已知 P(A)=0.38\mathrm{P}(A) = 0.38，P(A∣B)=0.5\mathrm{P}(A \mid B) = 0.5 且 P(A∪B)=0.52\mathrm{P}(A \cup B) = 0.52。 求 P(B)\mathrm{P}(B)…
  7. 7事件 AA、BB 和 CC 满足 P(A)=0.1\mathrm{P}(A) = 0.1、P(B)=0.2\mathrm{P}(B) = 0.2 且 P(C)=c\mathrm{P}(C) = c。AA 和 BB 是独立事件。AA 和 CC 是互斥事件。 写…
  8. 8一个由 15 名学生组成的团队被选去参加户外拓展活动。其中一名学生自愿担任领队，另一名学生自愿担任副领队。他们决定玩一些破冰游戏，所有 15 名学生围坐成一个圈。 求两位领队不相邻而坐的概率。 在破冰游戏期间，大家发现其余 13 名学生中有…
  9. 9已知事件 A 和 B 满足 P(A∪B′)=23P(A \cup B') = \frac{2}{3} 且 P(A)=14P(A) = \frac{1}{4}。 求 P(A∣A∪B)P(A \mid A \cup B)。 若事件 A 和 B 独立，求 P(B)P(B)。 若事件 A…
  10. 10一家面包店生产成批的曲奇。平均而言，生产的有缺陷曲奇的比例为 pp，其中 0<p<10 < p < 1。这些曲奇每 20 个装一盒。一盒曲奇中有缺陷的曲奇数量记为 CC。 结合上下文，陈述一个使一盒中有缺陷的曲奇数量能很好地用二项分布建模所需…
  11. 11ECBC 银行呼叫中心话务员平均每小时接听的电话次数正在被评估。 结合背景，指出如果要用泊松分布很好地模拟话务员接听的电话次数，需要作出的两个假设。 该呼叫中心在任何时间点都只有三名话务员。一名负责处理信用卡咨询相关的电话，另一名处理商业银…
  12. 12一家苗圃向长青私人有限公司（Evergreen Pte. Ltd.）供应植物。所供应植物的高度（以厘米为单位）可以认为服从分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^{2})。 多年来，长青公司因植物太矮退回了 6% 的供应植物，因太高退回了 4%…
  13. 13[对于本题，你应该清楚地说明你所使用的任何正态分布的参数值。] 每天晚饭后，班尼迪克特（Benedict）在晚上 8 点开始温习功课之前会给自己一些时间放松。他在晚上 7 点过 DD 分钟时吃完晚饭，其中 DD 服从分布 N(10,22)\text{N}(10, 2^2)…
  14. 14两个事件 AA 和 BB 满足 P(A)=pP(A)=p 且 P(B)=54pP(B)=\frac{5}{4}p。已知 P(A∪B)=P(A∣B)=0.6P(A\cup B)=P(A\mid B)=0.6。 求 pp 的值。 解释事件 A′A' 和 BB 是否独立。 事件 CC…
  15. 15假设在随机选取的 10 分钟内，到达机场出租车停靠区的 Green Top 出租车和 EZCab 出租车的数量是相互独立的泊松变量，均值分别为 3 和 5。 证明在随机选取的 10 分钟内，至少有 7 辆出租车到达停靠区的概率为 0.687…
  16. 16一套共 9 张卡片，分别标有数字 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 和 6。进行一轮配对游戏，每次无放回地随机抽取两张卡片，一次抽一张。当抽出的两张卡片数字相同时，即视为配对成功。 已知两张卡片上的数字之和小于 55，求在一局…
  17. 17两个家庭计划一起去徒步旅行。李家（Lee family）有 10 人，包括 3 对已婚夫妇、3 名单身男性和 1 名单身女性。陈家（Tan family）有 14 人，包括 4 对已婚夫妇、1 名单身男性和 5 单身女性。随机挑选两人来组织…
  18. 18在超市的抽奖活动中，参与者将首先转动转盘，然后掷一枚均匀的六面骰子。 转盘有 9 个区域和一根指针，指针停在 9 个区域中任意一个区域的概率均等。转盘上有一个区域标有 “100”，三个区域标有“100”，三个区域标有 “4”，五个区域标有 “11”。 均匀的…
  19. 19可以假设在随机选择的 10 分钟时间段内，到达机场出租车停靠区的 Green Top 出租车和 EZCab 出租车数量是相互独立的泊松变量，均值分别为 3 和 5。 证明在随机选择的 10 分钟时间段内，至少有 7 辆出租车到达停靠区的概率…
  20. 20一个袋子里装有10个红色和15个绿色的珠子，除颜色外它们无法区分。每次从袋子中随机抽取一个珠子，每次抽取后放回。 计算在第5次抽取或之前获得第一个红色珠子的概率。 已知在前5次抽取中没有获得绿色珠子，计算在第8次抽取中首次获得绿色珠子的概率…
  21. 21一个由25名学生组成的班级有15名女生和10名男生。学年初，将随机挑选4名学生组成临时班委会，包括“主席”、“副主席”、“财务”和“秘书”。求： 恰好选中两名女生的概率， “主席”和“副主席”为异性的概率， 在“财务”和“秘书”为异性的条件…
  22. 22下图显示了一个半径为 40 cm 的圆形靶盘，由两个半径分别为 12 cm 和 24 cm 的同心圆分成三个区域：金色、红色和蓝色。 向靶盘射箭，射中金色、红色和蓝色区域的得分分别为 10 分、6 分和 3 分。落在靶盘外的箭得 0 分。…
  23. 23为了减少道路上的超速事件数量，S国的交警在三个繁忙的交通路口 A、B 和 C 设置了交通摄像头，以监控通过这些路口的车辆速度。路口 A、B 和 C 的摄像头捕获的超速车辆平均数分别为每 3 小时 2 辆、每 4 小时 5 辆和每小时 λ\lambda…
  24. 24在一次实验中，掷两个均匀的 nn 面骰子，每个骰子的面上分别标有数字 1，2，...，nn（其中 n≥4n \ge 4）。每个骰子出现的数字定义为与桌面接触的那个面上的数字。如果两个骰子出现的数字不同，则得分记为两个数字中较大的那…
  25. 25下表显示了一所私立学校中学习化学、物理和生物的男女学生人数。 | | 化学 | 物理 | 生物 | |---|---|---|---| | 男生 | 200 | 130 | 70 | | 女生 | 250 | 300 | 50 | 随机选择…
  26. 26设P(A∣B)=P(B∣A)=12,P(A)=13P(A|B)=P(B|A)=\dfrac{1}{2},P(A)=\dfrac{1}{3}，则P(B)P(B)等于()(\quad) A. 12\dfrac{1}{2} B. 13\dfrac{1}{3} C. 14\dfrac{1}{4}…
  27. 27爱丽丝使用计算机程序模拟抛掷一枚非均匀硬币 80 次。令 YY 为表示获得正面朝上次数的随机变量，pp 为获得正面朝上的概率。已知 80+E(Y)=6 Var(Y)。80 + E(Y) = 6\,\mathrm{Var}(Y)。 求 pp 的准确值。 已知前 5…
  28. 28一对兄弟姐妹艾比（Abbey）和贝蒂（Betty）与另外六个朋友一起去参加书展。他们八个人随机排成一队，准备获取一位著名作家的签名。求满足以下条件的概率： 艾比排在队伍第一，贝蒂排在第六。 艾比排在第一，或者贝蒂排在第二（或两者皆是）。 一…
  29. 29一个袋子里有 4 个红色筹码和 6 个蓝色筹码。从袋中随机无放回地抽取 4 个筹码。 计算满足以下条件的概率： 所有抽取的筹码都是蓝色的， 至少抽到 3 个蓝色筹码， 每种颜色的筹码至少抽到 1 个， 在已知每种颜色的筹码至少抽到 1 个的…
  30. 30在食堂的饮料摊上，既销售热饮也销售冷饮。每分钟售出的热饮数量服从均值为 0.4 的泊松分布。每分钟售出的冷饮数量服从一个独立的、均值为 0.5 的泊松分布。 证明在给定的 5 分钟时间段内，总共售出超过 4 杯饮料的概率为 0.468（保留…
  31. 3112个人聚在一起，分成3组，每组4人，分别玩3种不同的游戏：康乐棋（carrom）、UNO和桥牌。 求这12个人分组的方法数。 亚伦和桑迪相处得不融洽，不想分在同一个组。求在这一限制条件下，这12个人分组的方法数。 已知亚伦和桑迪不在同一个…
  32. 32一组七人（包括两名单身男子、三名单身女子和一对已婚夫妇）排成一排就座。 求已婚夫妇坐在一起的概率。 已知已婚夫妇坐在一起，求所有女性都相邻而坐的概率。 求男女交替就座的概率。 这七个人现在坐在一张圆桌旁。 求其中某一位特定的女性恰好坐在两名…
  33. 33在阳光岛共和国，所有男性公民在入伍服兵役之前都必须进行国民体能评估（NPFA）测试。根据历史数据，参加 NPFA 测试的男性中有 75% 能通过该测试，并被授予铜奖、银奖或金奖标准。已知 NPFA 测试的表现会影响这些国民服役人员晋升为军…
  34. 34某工厂生产大量各种颜色的筹码，并将它们装入盒子中。每个盒子包含 36 个随机选择的筹码。平均而言，有 30% 的筹码是黄色的。你可以假设一个盒子中黄色筹码的数量服从二项分布。 75 个随机选择的盒子被装入一个纸箱中用于运输。 发现一个随机选…
  35. 35一个 6 面骰子有三个面标有 '1'，两个面标有 '2'，一个面标有 '3'。另一个 6 面骰子有一个面标有 '1'，两个面标有 '2'，三个面标有 '3'。在一场游戏中，玩家同时掷这两个骰子。 - 如果朝上的数字相同，则从装有 3 张蓝色…
  36. 36在一场有大量选手参加的 10 公里赛跑中，完赛时间服从正态分布。40 分钟后，有 10% 的选手完成了比赛。1 小时后，仍有 35% 的选手尚未完赛。最先完赛的前 20% 的选手将获得奖牌。 证明选手的跑步时间的均值为 55.4 分钟，标准…
  37. 37一家制造公司生产医用口罩。这些医用口罩被随机装入每盒 50 个的包装盒中。平均而言，有 15% 的医用口罩是有缺陷的。一盒 50 个口罩中缺陷口罩的数量记为 XX。 (i) 结合具体情境，陈述将一盒中缺陷医用口罩的数量用二项分布很好地进行…
  38. 38Serene 玩一个简单的在线游戏，该游戏每次将一个棋子沿着直线移动一步。棋子从点 S 开始。在每轮中，棋子有 35\frac{3}{5} 的概率向前移动一步，或者有 25\frac{2}{5} 的概率向后移动一步。在线游戏在 10 轮后结…
  39. 39一家餐馆在店庆促销活动中免费赠送汉堡。总共将送出 80 个汉堡，包含 8 种不同的口味，每种口味 10 个。汉堡将被随机选中并每次送出一个。在这 8 种汉堡口味中，“咖喱”（Curry）和“香辣”（Spicy）汉堡最受顾客欢迎。在前四个送出…
  40. 40已知某种特定疾病在每 10,000 人中大约会感染 1 人。针对这种疾病的检测准确率为 99.9%，即检测结果有 99.9% 的时间与真实结果相符。求一个人在检测结果呈阳性的条件下，确实患有该疾病的概率。 研究人员正在调查戴口罩是否有助于减…
  41. 41从包含10个数字的集合 {0, 1, 2, . . . , 9} 中独立且随机地选择两个数字 XX 和 YY。事件 AA 和 BB 定义如下： A：X=Y+1X = Y + 1。 B：XX 和 YY 都小于 6。 求： P(A)。 P…
  42. 42已知事件 AA、BB 和 CC 满足 P(A)=0.8P(A)=0.8，P(B)=0.2P(B)=0.2 且 P(C)=0.6P(C)=0.6。此外还已知 P(A∩B)=P(B)P(A\cap B)=P(B) 且 P(B∩C)=0.1P(B\cap C)=0.1。 求以下各项的最大可能值和最小可能值的精…
  43. 43巧克力工厂生产的每一批夹心巧克力中，都以16个为一盒进行包装。由于关于糖分含量的新健康指南，实施了质量控制测试，结果表明，平均而言，糖分含量超过推荐标准的巧克力比例为 pp。一盒中糖分含量超过推荐标准的巧克力数量记为 XX。 在该问题的…
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    第二部分：概率与统计 [60 分] 对于事件 AA 和 BB，已知 P(B′)=0.51\mathrm{P}(B') = 0.51 且 P(A′∩B′)=0.15\mathrm{P}(A' \cap B') = 0.15。 求 P(A∩B′)\mathrm{P}(A \cap B')…

  45. 45已知事件 AA、BB 和 CC 满足 P(A)=0.7P(A)=0.7，P(B)=0.5P(B)=0.5，P(C∣A′)=0.6P(C\mid A')=0.6 且 P(A∣C′)=0.76P(A\mid C')=0.76。 求 P(A∩B)P(A \cap B) 的最大值和最小值。 求 P(C∩A′)P(C \cap A')…
  46. 46在任意一个月内，南北（NS）线发生铁路事故的平均次数为 mm。事故之间相互独立发生，并且由于技术故障导致铁路事故发生的概率由 pp 给出。已知在任意一周内，南北线发生至少一次铁路事故的概率为 0.25。一周被视为一个月的四分之一。 求…
  47. 47两位选手 AA 和 BB 进行一场网球比赛。比赛最多进行三盘。每盘比赛由 AA 或 BB 获胜，先赢两盘者赢得比赛。AA 赢得第一盘的概率为 pp。 在第一盘之后，在 AA 赢了前一盘的条件下，AA 赢得该盘的条件概率为 0…
  48. 48爱明和舒婷在玩一个电脑游戏，她们各自向目标射击。对于每次射击，两人击中目标的概率均为 0.25，且独立于两人的所有其他射击，并且她们对目标的尝试次数相同。求： 在尝试的 20 次射击中，爱明最可能击中目标的次数， 在尝试的 20 次射击中，…
  49. 49某公司生产陶瓷花瓶。每天会对固定数量的随机抽取花瓶进行检验，每天发现的缺陷花瓶数量记为 XX。 结合上下文，写出使 XX 能很好地用二项分布建模所需的两个假设。 现在假设 XX 服从分布 B(30,0.04)\mathrm{B}(30,0.04)。…
  50. 50一个袋中装有大小相同的22个白球和33个黑球，若不放回地依次任取两个球，设事件AA为“第一次取出白球”，事件BB为“第二次取出黑球”，则在AA发生的条件下BB发生的概率为()(\quad) A. 13\dfrac{1}{3}…
  51. 51一个袋子里装有 10 个红珠子 and 15 个绿珠子，它们除颜色外完全相同。从袋中随机逐个摸出珠子，每次摸完后放回。 计算在第 5 次（含）或第 5 次之前摸到第一个红珠子的概率。 已知在前 5 次摸珠中没有摸到绿珠子，求在第 8 次摸珠…
  52. 52某制造商生产手机屏幕保护膜。平均而言，有 4% 的屏幕保护膜是开裂的。屏幕保护膜以每盒 nn 片的形式出售。 结合上下文，写出使一盒中开裂的屏幕保护膜数量能够很好地用二项分布进行建模所需的两个假设。 现假设一盒中开裂的屏幕保护膜数量服从二…
  53. 53在一项学校调查中，一组 80 名学生被问及他们每周在联课活动（CCA）上花费的时间（精确到最接近的小时）。读数如下所示： （表格见 figure_description。） 从该组中随机抽取一名学生。定义事件如下： GG ：该学生是女生。…
  54. 54一个袋子里装有三个红球和两个蓝球。除了颜色外，所有的球都是不可区分的。 红先生和蓝先生轮流从袋中随机抽取一个球，每次抽取后放回。第一位抽中与自己名字颜色相同的球的玩家获胜，且游戏立即结束。 如果红先生先抽，求以下事件的概率： 红先生在他的第…
  55. 55一个袋中有3个红球和5个白球，不放回地连取2个球，求两个都是红球的概率。
  56. 56巧克力工厂生产的每批夹心巧克力都以每盒16颗进行包装。根据关于含糖量的新健康指南，实施了质量控制检测，结果表明平均而言，含糖量超过推荐标准的夹心巧克力比例为 pp。一盒中含糖量超过推荐标准的夹心巧克力数量记为 X.对于生产的每一批夹心巧克力，巧克力工厂通过测试一盒中由16颗巧克力组成的第一个随机样本，实施以下质量控制系统：−如果一盒中最多有1颗夹心巧克力的含糖量超过推荐标准，则该批次被接收。−如果一盒中有3颗或更多夹心巧克力的含糖量超过推荐标准，则该批次被拒收。−如果一盒中有2颗夹心巧克力的含糖量超过推荐标准，则测试第二盒包含16颗夹心巧克力的样本。如果第二盒中最多有1颗夹心巧克力的含糖量超过推荐标准，则该批次被接收；否则，该批次被拒收。已知X. 对于生产的每一批夹心巧克力，巧克力工厂通过测试一盒中由16颗巧克力组成的第一个随机样本，实施以下质量控制系统： - 如果一盒中最多有 1 颗夹心巧克力的含糖量超过推荐标准，则该批次被接收。 - 如果一盒中有 3 颗或更多夹心巧克力的含糖量超过推荐标准，则该批次被拒收。 - 如果一盒中有 2 颗夹心巧克力的含糖量超过推荐标准，则测试第二盒包含 16 颗夹心巧克力的样本。如果第二盒中最多有 1 颗夹心巧克力的含糖量超过推荐标准，则该批次被接收；否则，该批次被拒收。 已知 …
  57. 57袋子中装有 5 张写有字母 'A' 的卡片，3 张写有字母 'B' 的卡片和 2 张写有字母 'C' 的卡片。 A A A A A B B B C C\text{A } \text{A } \text{A } \text{A } \text{A } \text{B } \text{B } \text{B } \text{C } \text{C}…
  58. 58事件 A、B 和 C 满足 P(A) = 0.8，P(B) = 0.2 且 P(C) = 0.6。已知 P(A∩B)=P(B)P(A \cap B) = P(B) 且 P(B∩C)=0.1P(B \cap C) = 0.1。 准确求出以下各项的最大和最小可能值： P(A∩Bc∩C)P(A \cap B^c \cap C)…
  59. 59过山车游乐设施有两个独立的安全系统，分别用于检测轨道和过山车车身本身的故障。在很长一段时间内，发现这些系统每天检测到的平均故障数轨道为 0.25 个，车身为 0.15 个。假设轨道上检测到的故障与车身上检测到的故障是相互独立的。 在此背景下…