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表格韦恩图与树状图法

利用结果表、韦恩图、树状图以及排列组合方法计算概率。

这个知识点的练习题

  1. 1安东尼用一个均匀的四面骰子玩游戏，骰子的四个面上分别印有数字 1、2、3 和 4。安东尼掷骰子，如果结果是质数，他将赢得与该数字等额的美元。相反，如果结果是非质数，安东尼将失去与该数字等额的美元。随机变量 XX 表示安东尼在一次掷骰子中赢…
  2. 2一位业余作曲家正在编排一段由四个音符和接下来的三个节拍组成的序列。有 7 种可能的音符（标记为 A 到 G）和 5 种可能的节拍（标记为 1 到 5）。音符和节拍的顺序在创作中很重要。求随机选择的序列满足以下条件的概率： 第三个节拍的数字大…
  3. 3已知事件 AA 和 BB 满足 P(B)=13\mathrm{P}(B) = \frac{1}{3}，P(A∣B)=25\mathrm{P}(A|B) = \frac{2}{5} 且 P(A∪B)=35\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{3}{5}。…
  4. 4凯（Kai）和里奥（Leo）两兄弟是定期训练的双项全能（跑步和骑行）运动员。在每一天中，凯骑行的概率为 34\frac{3}{4}，跑步的概率为 35\frac{3}{5}，两者都进行的概率为 pp。 平均而言，里奥在一周的 7 天中有…
  5. 5一对同胞 Abbey 和 Betty 还有其他六个朋友一起去参加书展。他们八个人随机排成一队等候一位著名作家的签名。求满足以下条件的概率： Abbey 排在队列第一位且 Betty 排在队列第六位， Abbey 排在队列第一位或 Betty…
  6. 6已知某种特定疾病的感染率约为万分之一（每 10 000 人中约有 1 人感染）。针对该疾病的一项检测准确率为 99.9%，即检测结果与真实情况相符的概率为 99.9%。求在已知某人检测结果呈阳性的条件下，此人确实患有该疾病的概率。 研究人员…
  7. 7对于事件 AA 和 BB，已知 P(A)=0.55\mathrm{P}(A) = 0.55，P(B)=0.65\mathrm{P}(B) = 0.65 且 P(A∪B)=0.93\mathrm{P}(A \cup B) = 0.93。 求 P(A∩B)\mathrm{P}(A \cap B)…
  8. 8对一组 100 名学生进行了调查，询问他们是否是学生领袖、是否参加了体育类课外活动，或者是否在理学院学习。其中，学生领袖有 25 人，参加体育类课外活动的学生有 30 人，在理学院学习的学生有 40 人。有 15 名学生领袖参加了体育类课外…
  9. 9一个袋子中装有一个绿色圆盘、rr 个红色圆盘和 2r2r 个蓝色圆盘，其中 r>1r>1。 提姆（Tim）和西姆（Sim）轮流从袋子中随机抽取一个圆盘来进行游戏。每次抽取后，将抽出的圆盘放回袋中。第一个抽到绿色圆盘的人获胜。如果西姆先开始游…
  10. 10凯莉（Kelly）有一盒标有从 A 到 Z 26 个字母的球形珠子，所有珠子的大小都相同。对于每个字母，恰好有 3 颗不同颜色的珠子：红色、蓝色和金色。凯莉计划通过将这些标有字母的珠子按特定顺序串起来制作一个钥匙扣。图 1 展示了一个带有…
  11. 11已知事件 AA 和 BB 满足 P(A)=0.7P(A)=0.7 且 P(B)=0.8P(B)=0.8。证明 P(A∩B)≥0.5P(A \cap B) \ge 0.5 若 P(A′ ∪ B)=0.85P(A'\ \cup\ B)=0.85，求 P(A∣B)P(A\mid B)。说明并解释 AA 和…
  12. 12一家新奇玩意儿商店的老板Happie正在为他的商店组织一场宣传活动。利用他购得的一批超稀有Lubaba玩偶，他设计了一个游戏，玩家通过打开“神秘盒子”来尝试寻找隐藏在众多完全相同的游戏盒子之中的一个Lubaba玩偶。 游戏规则如下： - 玩…
  13. 13一位水果商从一家拥有大型种植园的供应商处采购橙子，该种植园中 1% 的橙子是腐烂的。该供应商在采摘橙子时不考虑橙子是否腐烂，并随机地将 20 个橙子装入每个箱子中。 随机变量 XX 表示随机选择的箱子中腐烂橙子的数量。结合具体情境，陈述…
  14. 14四面体骰子有四个面。两个均匀的四面体骰子，一红一蓝，其四个面分别标有数字 0、1、2 和 3。投掷这两个骰子，并记录两个骰子朝下的数字。随机变量 TT 定义为红色骰子上的得分乘以蓝色骰子上的得分。 求 TT 的概率分布。 求 E(T)E(T)…
  15. 15B 部分：统计学 [60 分] 已知事件 AA 和 BB 相互独立，证明 A′A' 和 BB 也相互独立。 已知事件 AA 和 BB 相互独立，证明 A′A' 和 BB 也相互独立。 A、BB 和 CC 是事件，使得事件 AA…
  16. 16事件 AA、BB 和 CC 满足 P(A)=0.1\mathrm{P}(A) = 0.1、P(B)=0.2\mathrm{P}(B) = 0.2 且 P(C)=c\mathrm{P}(C) = c。AA 和 BB 是独立事件。AA 和 CC 是互斥事件。 写…
  17. 17第二部分：概率与统计 [60分] 若 P(B∣A)=0.2\text{P}(B \mid A) = 0.2，P(A∣B)=0.6\text{P}(A \mid B) = 0.6 且 P(A′∩B′)=0.3\text{P}(A' \cap B') = 0.3，求 P(A∩B)\text{P}(A \cap B)…
  18. 18一个由 15 名学生组成的团队被选去参加户外拓展活动。其中一名学生自愿担任领队，另一名学生自愿担任副领队。他们决定玩一些破冰游戏，所有 15 名学生围坐成一个圈。 求两位领队不相邻而坐的概率。 在破冰游戏期间，大家发现其余 13 名学生中有…
  19. 19假设在随机选取的 10 分钟内，到达机场出租车停靠区的 Green Top 出租车和 EZCab 出租车的数量是相互独立的泊松变量，均值分别为 3 和 5。 证明在随机选取的 10 分钟内，至少有 7 辆出租车到达停靠区的概率为 0.687…
  20. 20对于事件 AA、BB 和 CC，已知 P(A)=P(A∩B)=15P(A) = P(A \cap B) = \tfrac{1}{5} 且 P(B)=2P(A)P(B) = 2P(A)。还已知 P(B∩C)=310.P(B \cap C) = \tfrac{3}{10}. 求 P(A∩C)P(A \cap C)…
  21. 21在超市的抽奖活动中，参与者将首先转动转盘，然后掷一枚均匀的六面骰子。 转盘有 9 个区域和一根指针，指针停在 9 个区域中任意一个区域的概率均等。转盘上有一个区域标有 “100”，三个区域标有“100”，三个区域标有 “4”，五个区域标有 “11”。 均匀的…
  22. 22在一次实验中，掷两个均匀的 nn 面骰子，每个骰子的面上分别标有数字 1，2，...，nn（其中 n≥4n \ge 4）。每个骰子出现的数字定义为与桌面接触的那个面上的数字。如果两个骰子出现的数字不同，则得分记为两个数字中较大的那…
  23. 23下表显示了一所私立学校中学习化学、物理和生物的男女学生人数。 | | 化学 | 物理 | 生物 | |---|---|---|---| | 男生 | 200 | 130 | 70 | | 女生 | 250 | 300 | 50 | 随机选择…
  24. 24一对兄弟姐妹艾比（Abbey）和贝蒂（Betty）与另外六个朋友一起去参加书展。他们八个人随机排成一队，准备获取一位著名作家的签名。求满足以下条件的概率： 艾比排在队伍第一，贝蒂排在第六。 艾比排在第一，或者贝蒂排在第二（或两者皆是）。 一…
  25. 25一个袋子里有 4 个红色筹码和 6 个蓝色筹码。从袋中随机无放回地抽取 4 个筹码。 计算满足以下条件的概率： 所有抽取的筹码都是蓝色的， 至少抽到 3 个蓝色筹码， 每种颜色的筹码至少抽到 1 个， 在已知每种颜色的筹码至少抽到 1 个的…
  26. 26一组十个人由四名单身女性、两名单身男性和两对夫妇组成。这十个人随机排成一个圆圈。 求这四名单身女性全部彼此不相邻的概率。 求四名单身女性相邻或两名单身男性相邻（但两者不同时发生）的概率。 其中一人离开了小组，剩下的九人决定坐在一张圆桌旁，圆…
  27. 27一组七人（包括两名单身男子、三名单身女子和一对已婚夫妇）排成一排就座。 求已婚夫妇坐在一起的概率。 已知已婚夫妇坐在一起，求所有女性都相邻而坐的概率。 求男女交替就座的概率。 这七个人现在坐在一张圆桌旁。 求其中某一位特定的女性恰好坐在两名…
  28. 28在阳光岛共和国，所有男性公民在入伍服兵役之前都必须进行国民体能评估（NPFA）测试。根据历史数据，参加 NPFA 测试的男性中有 75% 能通过该测试，并被授予铜奖、银奖或金奖标准。已知 NPFA 测试的表现会影响这些国民服役人员晋升为军…
  29. 29一个 6 面骰子有三个面标有 '1'，两个面标有 '2'，一个面标有 '3'。另一个 6 面骰子有一个面标有 '1'，两个面标有 '2'，三个面标有 '3'。在一场游戏中，玩家同时掷这两个骰子。 - 如果朝上的数字相同，则从装有 3 张蓝色…
  30. 30一组100名学生被询问他们是否是学生领袖、是否参加了体育CCA，或者是否在理学院学习。学生领袖的人数为25人，参加体育CCA的人数为30人，在理学院学习的人数为40人。有15名学生领袖参加了体育CCA。既是学生领袖、参加了体育CCA又在理学…
  31. 31Ang 家、Bao 家和 Chew 家分别有三名、五名和四名成员。这三个家庭被邀请参加一场婚宴。 由于场地限制，每个家庭只能有 2 名成员出席宴会。 求选择这 6 名出席者的方案数。 将部分 (a) 中选出的 6 名出席者随机安排在一张圆桌…
  32. 32在一个游戏中，玩家投掷一枚各个面分别标有 1 到 6 的均匀骰子。如果玩家掷出 6，他将投掷第二次，在这种情况下，他的得分是 6 与第二次掷出数字之差的绝对值。否则，他的得分就是第一次掷出的数字。设玩家的得分为 XX。 证明 P(X=1)=736\mathrm{P}(X = 1) = \tfrac{7}{36}…
  33. 33已知某种特定疾病在每 10,000 人中大约会感染 1 人。针对这种疾病的检测准确率为 99.9%，即检测结果有 99.9% 的时间与真实结果相符。求一个人在检测结果呈阳性的条件下，确实患有该疾病的概率。 研究人员正在调查戴口罩是否有助于减…
  34. 34在一个不透明的盒子中，放入22个红球，11个黄球和11个白球，这些球除颜色外都相同. (1)第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用列表法求出两次都摸到红球的概率;(2);(2)求一次同时摸出两个红球的…
  35. 35从包含10个数字的集合 {0, 1, 2, . . . , 9} 中独立且随机地选择两个数字 XX 和 YY。事件 AA 和 BB 定义如下： A：X=Y+1X = Y + 1。 B：XX 和 YY 都小于 6。 求： P(A)。 P…
  36. 36已知事件 AA、BB 和 CC 满足 P(A)=0.8P(A)=0.8，P(B)=0.2P(B)=0.2 且 P(C)=0.6P(C)=0.6。此外还已知 P(A∩B)=P(B)P(A\cap B)=P(B) 且 P(B∩C)=0.1P(B\cap C)=0.1。 求以下各项的最大可能值和最小可能值的精…
  37. 37

    第二部分：概率与统计 [60 分] 对于事件 AA 和 BB，已知 P(B′)=0.51\mathrm{P}(B') = 0.51 且 P(A′∩B′)=0.15\mathrm{P}(A' \cap B') = 0.15。 求 P(A∩B′)\mathrm{P}(A \cap B')…

  38. 38两位选手 AA 和 BB 进行一场网球比赛。比赛最多进行三盘。每盘比赛由 AA 或 BB 获胜，先赢两盘者赢得比赛。AA 赢得第一盘的概率为 pp。 在第一盘之后，在 AA 赢了前一盘的条件下，AA 赢得该盘的条件概率为 0…
  39. 39事件 AA 和 BB 满足 P(A)=a\text{P}(A) = a 且 P(B)=b\text{P}(B) = b。 AA 和 BB 是互斥事件。 求 P(A′∩B′)\text{P}(A' \cap B') 的表达式。 画一个韦恩图来阐明 A′A' 和…
  40. 40袋子中装有 6 个红圆盘、6 个绿圆盘、6 个黄圆盘和 6 个蓝圆盘。除颜色外，这些圆盘没有任何区别。从袋中不放回地依次取出 4 个圆盘。随机变量 XX 表示这 4 个圆盘中所含不同颜色的数量。 证明 P(X=2)=frac4651771P(X = 2) = \\frac{465}{1771}…
  41. 41在一个游戏中，玩家从一个装有四个分别标有“1”、“1”、“2”和“3”的球的袋子中随机选择一个球。玩家记录所选球上的数字，然后投掷该数字个均匀对称的硬币。得到的正面朝上的硬币个数记为 XX，其概率分布如下： | xx | 0 | 1 |…
  42. 42美国国家航空航天局（NASA）收集了航天飞机发射的数据并发布在其网站上。下表显示了 1981 年 4 月至 2011 年 7 月期间 135 次任务中每一次的机组人员人数的频数分布。 设随机变量 CC 表示在 1981 年 4 月至 20…
  43. 43在一项学校调查中，一组 80 名学生被问及他们每周在联课活动（CCA）上花费的时间（精确到最接近的小时）。读数如下所示： （表格见 figure_description。） 从该组中随机抽取一名学生。定义事件如下： GG ：该学生是女生。…
  44. 44两个均匀的 4 面骰子，其各个面上分别标有 '1'、'2'、'3' 和 '4'。掷出这两个骰子，记它们底面数字的差的绝对值为 XX。 求所有可能的 xx 值的 P(X=x)\mathrm{P}(X = x)。 求 E(X)\mathrm{E}(X)…
  45. 45袋子中装有 6 个红盘、6 个绿盘、6 个黄盘和 6 个蓝盘。除了颜色之外，这些圆盘无法区分。从袋子中不放回地依次取出 4 个圆盘。随机变量 XX 表示取出的 4 个圆盘中所获得的不同颜色的数量。 证明 P(X=2)=4651771\mathrm{P}(X = 2) = \frac{465}{1771}…
  46. 46袋子中装有 5 张写有字母 'A' 的卡片，3 张写有字母 'B' 的卡片和 2 张写有字母 'C' 的卡片。 A A A A A B B B C C\text{A } \text{A } \text{A } \text{A } \text{A } \text{B } \text{B } \text{B } \text{C } \text{C}…
  47. 47事件 A、B 和 C 满足 P(A) = 0.8，P(B) = 0.2 且 P(C) = 0.6。已知 P(A∩B)=P(B)P(A \cap B) = P(B) 且 P(B∩C)=0.1P(B \cap C) = 0.1。 准确求出以下各项的最大和最小可能值： P(A∩Bc∩C)P(A \cap B^c \cap C)…