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数列与函数的关系

将数列视为函数 y=f(n)y = \mathrm{f}(n)，其中 nn 为正整数。

这个知识点的练习题

  1. 1已知一个数列的前 nn 项和为 Sn=3n(n+2)S_n = 3n(n + 2)。证明该数列是一个等差数列。 第 (a) 部分中数列的第二项、第七项和第 mm 项是一个等比数列的前三个连续项，该等比数列的第 nn 项记为 vnv_n。求 mm…
  2. 2考虑 Sn=21×2×3+22×3×4+23×4×5+…+2n(n+1)(n+2)S_{n}=\dfrac{2}{1\times2\times3}+\dfrac{2}{2\times3\times4}+\dfrac{2}{3\times4\times5}+\ldots+\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}…
  3. 3数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 的前 nn 项和为 SnS_n，其中 Sn=∑r=1nurS_n = \sum_{r=1}^{n} u_r。已知 Sn=An2(n+1)−BnS_n = An^2(n + 1) - Bn 其中 AA 和 BB 是非零常…
  4. 4已知 f(r)=r(r−1)!f(r)=\dfrac{r}{(r-1)!}，证明 f(r−1)−f(r)=r2−3r+1(r−1)!f(r-1)-f(r)=\dfrac{r^2-3r+1}{(r-1)!}。 由此求 ∑r=2nr2−3r+1(r−1)!\displaystyle\sum_{r=2}^n \dfrac{r^2-3r+1}{(r-1)!}…
  5. 5证明 7n−2−5n−1−2n=9n−4(n−2)(n−1)n\frac{7}{n-2} - \frac{5}{n-1} - \frac{2}{n} = \frac{9n-4}{(n-2)(n-1)n}。 由此求 ∑n=3N9n−4(n−2)(n−1)n\sum_{n=3}^{N} \frac{9n-4}{(n-2)(n-1)n}…
  6. 6Anand 编写了一个计算机程序，用于在受控环境中模拟生物种群。假设在模拟期间没有生物死亡或离开该环境。 在模拟 A 中，第 1 天向环境中引入 200 个生物。在随后的每一天开始时，向环境中再引入 48 个生物。求在某天结束时，环境中的生…
  7. 7在上个月的第一天，一家制造厂内一台机器的温度被发现为 90∘C90^\circ\text{C}，主管认为该温度过高。每天，机器产生的废热作为副产品会导致机器温度上升 2∘C2^\circ\text{C}。为了降低温度，主管决定调整恒温器，并在每天…
  8. 8一个数列的前四项分别为 v1=−9v_1 = -9，v2=7v_2 = 7，v3=47v_3 = 47 和 v4=141v_4 = 141。已知 vnv_n 是关于 nn 的三次多项式。求用 nn 表示的 vnv_n。
  9. 9Aenicillin 是一种细菌，在培养皿中培养。其数量每六小时翻一番。将第一天开始时的 Aenicillin 数量记为 x0x_0： (a) 写出 xnx_n（n≥1n \ge 1）的递推关系，其中 xnx_n 为第 nn 天结束时培养皿…
  10. 10已知 f(r)=(r−2)2r−1f(r)=(r-2)2^{r-1}。证明 f(r+1)−f(r)=2rarf(r+1)-f(r)=2^r a r，其中 aa 是一个待确定的常数。 由此求出 ∑r=1nr2r\sum_{r=1}^n r2^r。 利用第 (ii) 部分的结果，用 nn 表示 ∑r=3n(r+2)2r\sum_{r=3}^n (r+2)2^r…
  11. 11一支自行车队计划在 10 天内从新加坡骑行到槟城并返回。从新加坡到槟城往返的路线距离为 1600 km。 艾利克斯（Alex）建议车队第一天骑行 120 km，之后每天增加 8 km 的骑行距离。证明车队无法在 10 天内完成该路线。 贝儿…
  12. 12Jane 决定购买一套公寓。为了筹集购房资金，她打算申请 $847 500 的银行住房贷款，该贷款的月利率为 0.25%。从第二个月开始，在每个月的第一天对未偿还贷款计息。在整个贷款期限内，从第一个月开始，每个月的最后一天进行固定月还款…
  13. 13树木学家是研究树木和木本植物的专业科学家。他们的工作多种多样，可以涵盖与树木鉴定、分类、生物学和生态学相关的各种活动。一组树木学家正在研究代号为“Vee树”（Tree Vee）和“Jay树”（Tree Jay）的两种树木的生长情况。…
  14. 14证明： 2n+1n2+2n+n2−1=n2+2n−n2−1\displaystyle \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+2n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-1}。 由此求 ∑n=1N2n+1n2+2n+n2−1\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2-1}}…
  15. 15温迪（Wendie）参加训练以准备一场跑步比赛。在第一场训练中，她在恰好 5 分钟内跑了 1000 米的距离。对于之后的每一场训练，跑步的距离都比前一场多 x%x\%，且所花的时间比前一场多 1.5 分钟。 已知 x=8x = 8。 求她在第…
  16. 16已知数列 TnT_n 由 Tn=ln(na)+bn2+cT_n = \text{ln}(n^a) + bn^2 + c 给出，其中 n oldsymbolackslashin oldsymbolackslashZ+n \text{ } oldsymbol{\rm ackslash in} \text{ } oldsymbol{\rm ackslash Z}^+…
  17. 17Selena 决定于 2025 年 1 月 1 日向银行贷款 $200 000 用于购房。在每个月的第一天，所欠金额将增加 0.5% 的利息，第一次计息时间为 2025 年 1 月 1 日。在每个月的最后一天，她向银行还款 $x，从 2…
  18. 18数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=e10u_1 = \dfrac{e}{10} 且 对于所有 n≥2n \ge 2，un−un−1=e2n−1u_n - u_{n-1} = \dfrac{e}{2^{n-1}}。 使用裂项消去法证明： un=e10[11−10(12)n−1].u_n = \dfrac{e}{10}\left[11 - 10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right].…
  19. 19踏频，即骑行时的脚踏速度，以每分钟脚踏旋转圈数（RPM）为单位进行测量。例如，60 RPM 的踏频意味着一个脚踏在 1 分钟内完成 60 次完整旋转。动感单车上脚踏的每一次完整旋转相当于骑行了大约 0.006 km 的距离。 Lisa 报名…
  20. 20下图所示为 y=x+40y = \sqrt{x+40} 的图像。 通过考虑阴影矩形，证明： n+40<∫nn+1x+40 dx.\sqrt{n+40} < \int_n^{n+1} \sqrt{x+40}\, dx. 由此推出： 1+2+3+⋯+80<∫−4041x+40 dx.\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \dots + \sqrt{80} < \int_{-40}^{41} \sqrt{x+40}\, dx.…
  21. 21Sarah 是一名新加坡公民，于 2021 年 8 月在新加坡国立大学 (NUS) 开始了为期 4 年的本科计算机课程。在扣除教育部学费津贴 (MOE Tuition Grant) 后，每年的学费为 $8,250。Sarah 申请了覆盖其…
  22. 22等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 a>0a > 0 且 d≠0d \ne 0。 该等差数列的第一、第六和第九项是某等比数列的连续三项。 证明 25d=−2a25d = -2a。 等差数列的前 nn 项和记为 SS。求满足 SS 大于…
  23. 23已知 f(r)=1−3(r+2)!\mathrm{f}(r) = 1 - \frac{3}{(r+2)!}，其中 rr 是非负整数。 证明 f(r)−f(r−1)=a(r+1)(r+2)!\mathrm{f}(r) - \mathrm{f}(r-1) = \frac{a(r+1)}{(r+2)!}，其中…
  24. 24一个级数的前 nn 项由 log⁡a3+log⁡a27+log⁡a243+…+log⁡a32n−1\log_a 3 + \log_a 27 + \log_a 243 + \ldots + \log_a 3^{2^{n-1}} 给出，其中 aa 是一个正数常数。 证明该级数是等差级数。 已知该级数前 30…
  25. 25已知 f(r)=r(r−1)!\mathrm{f}(r) = \frac{r}{(r-1)!}，证明 f(r−1)−f(r)=r2−3r+1(r−1)!\mathrm{f}(r-1) - \mathrm{f}(r) = \frac{r^2 - 3r + 1}{(r-1)!}。
  26. 26一个等比级数的公比为 rr，一个等差级数的首项为 aa，公差为 dd，其中 aa 和 dd 均非零。该等比级数的前三项分别等于该等差级数的第一项、第四项和第六项。 证明 3r2−5r+2=03r^{2} - 5r + 2 = 0。 由此推导该等比…
  27. 27等差数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，已知a1=13a_{1}=13，S3=S11S_{3}=S_{11}，当SnS_{n}最大时，nn的值是()() A. 55 B. 66 C. 77…
  28. 28在某家银行，一个储蓄账户在每个月的最后一天按每月 0.9% 的利率支付利息。2024年1月1日，Mr Monie 在储蓄账户中存入了 $10000 的初始存款，并在之后的每个月开始时继续存入 $810。 求 2 个月结束时 Mr Mon…
  29. 29已知 f(n)=n5n−1\text{f}(n) = \frac{n}{5^{n-1}}，其中 nn 是正整数。 通过考虑 f(r)−f(r+1)\text{f}(r) - \text{f}(r+1)，求 ∑r=2n4r−15r\sum_{r=2}^{n} \frac{4r - 1}{5^r}…
  30. 30Jeremy 计划在 2024 年初向一个活期账户投资 $100 000，该账户每年支付 复利，年利率为 3.2%。利息在每年的最后一天根据账户内的金额支付。他还在随后每年的第一天向该活期账户中额外存入 $X。 用 XX 表示…
  31. 31下图展示了由正方形组成的一系列图案。阶段 0 由一个边长为 1 的正方形表示。在随后的每个阶段中，将前一阶段中最小正方形边长一半的正方形，添加到前一阶段中正方形的未占用顶点上。 设 A0A_0 为阶段 0 的正方形面积， AnA_n 为阶段…
  32. 32已知SnS_{n}是数列{n2n−1}\{\dfrac{n}{{{2}^{n-1}}}\}的前nn项和，若不等式∣λ+1∣<Sn+n2n−1|\lambda +1| < {{S}_{n}}+\dfrac{n}{{{2}^{n-1}}}对一切n∈N∗n∈N^{*}…
  33. 33NYJC Promo 9758/2020/Q2 数列 unu_n 的前四项分别为 u1=32.1u_1 = 32.1，u2=17u_2 = 17，u3=0.7u_3 = 0.7 和 u4=−7.8u_4 = -7.8。已知 unu_n 是关于 nn 的三次多项式，求 unu_n…
  34. 34已知数列 uru_r 的前 nn 项和为 ∑r=1nur=1−n(n+1)!\displaystyle\sum_{r=1}^n u_r = 1 - \dfrac{n}{(n+1)!}。 求用 nn 表示的 unu_n（其中 n≥2n \ge 2），并将你的答案表示为单…
  35. 35已知数列{an}\{a_{n}\}，an=1n(n+2)(n∈N+)a_{n}= \dfrac {1}{n(n+2)}(n∈N_{+})，那么1120 \dfrac {1}{120}是这个数列的第 ___ 项.
  36. 36一家名为“未来投资公司”（Future Investments Inc.）的金融机构推出了一项新的投资计划。该计划在每年年底支付 5% 的年复利，利息基于每年年初账户中的金额计算。 约翰（John）和莎拉（Sarah）都对这个计划很感兴趣。…
  37. 37贝蒂（Betty）需要为派对装饰一面长度为 5 米的墙。她从墙的最左端开始安装挂钩，并将每个挂钩依次编号为 “1”、“2”、“3” 等。第 1st1^{st} 和第 2nd2^{nd} 个挂钩之间的间距为 50 厘米，此后每个相邻挂钩之间的间距…
  38. 382016年5月初，萨姆（Sam）向银行借了 $50 000，银行在每个月末收取 0.2% 的特惠月利率。萨姆从 2016 年 6 月开始，在每个月初偿还每期 $1 000 的分期付款。 证明在偿还第 nn 期分期付款后的那个月末，萨姆…
  39. 39一位著名的艺术家想要创作一件只使用正方形的艺术品。第一天，他画了一个边长为 xx 米的正方形的周长，如图 1 所示。第二天，他将该正方形分成 9 个相等的正方形，并画出中间正方形的周长，如图 2 所示。第三天，他将第二天剩下的 8 个空正…
  40. 40已知级数 ∑r=1n2(4−3x)r\displaystyle\sum_{r=1}^{n}2(4-3x)^{r}，其中 xx 为常数。 解释为什么这是一个等比级数。确定使得该级数的无穷级数和存在的 xx 的取值范围。 令 x=1x = 1，且已知 ∑r=1nr2=n6(n+1)(2n+1)\displaystyle\sum_{r=1}^{n}r^{2} = \dfrac{n}{6}(n+1)(2n+1)…
  41. 41一档名为“伊奥纳倒置塔（Inverted Tower of Ionah）”的广播游戏节目每天都会进行直播。每天都会邀请一位参与者来玩这个游戏。参与者需要将厚度相同但横截面积逐渐增大的圆盘堆叠起来，以建造一座塔。塔的每一层都由一个圆盘组成。塔…
  42. 42已知复数 z=reiπnz = r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{n}}，其中 0<r<10 < r < 1 且 nn 是满足 n≥3n \ge 3 的正整数。复数 11，zz，z2z^2，...，znz^n 分别可…
  43. 43已知数列{xn}\{x_{n}\}和{yn}\{y_{n}\}的通项公式分别为xn=anx_{n}=a^{n}和yn=(a+1)n+b,n∈N+y_{n}=(a+1)n+b,n∈N^{+}． (1)当a=3a=3，b=5b=5时， ①①试问：x2x_{2}…