等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，已知$a_{1}=13$，$S_{3}=S_{11}$，当$S_{n}$最大时，$n$的值是$()$

A. $5$

B. $6$

C. $7$

D. $8$

1. 由 $S_3 = S_{11}$ 求解等差数列的公差 $d$

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1 = 13$。
根据等差数列的前 $n$ 项和公式 $S_n = n a_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$，由 $S_3 = S_{11}$ 可得：
$3 \times 13 + \frac{3 \times 2}{2}d = 11 \times 13 + \frac{11 \times 10}{2}d$
整理得：
$39 + 3d = 143 + 55d$
解得公差：
$52d = -104 \implies d = -2$

2. 求解 $S_n$ 的表达式并确定其最大值时 $n$ 的值

将 $a_1 = 13, d = -2$ 代入前 $n$ 项和公式，得：
$S_n = 13n + \frac{n(n-1)}{2} \times (-2) = -n^2 + 14n$
利用配方法将二次函数写成顶点式：
$S_n = -(n - 7)^2 + 49$
因为 $n \in \mathbb{N}^*$，所以当 $n = 7$ 时，$S_n$ 取得最大值，此时最大值为 $49$。
因此正确选项为 C。