已知 $\mathrm{f}(r) = \frac{r}{(r-1)!}$ ，证明 $\mathrm{f}(r-1) - \mathrm{f}(r) = \frac{r^2 - 3r + 1}{(r-1)!}$ 。

数列与函数的关系排列组合 English

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1. Express $\mathrm{f}(r-1)$ and set up the expression for the difference.

Substitute $r-1$ into $\mathrm{f}$ :
$\mathrm{f}(r-1) = \frac{r-1}{(r-2)!}$

Set up the difference:
$\mathrm{f}(r-1) - \mathrm{f}(r) = \frac{r-1}{(r-2)!} - \frac{r}{(r-1)!}$

2. Find a common denominator using the property of factorials and simplify.

Recognise that $(r-1)! = (r-1)(r-2)!$ . Multiply the numerator and denominator of the first term by $(r-1)$ :
$= \frac{(r-1)(r-1)}{(r-1)!} - \frac{r}{(r-1)!}$
$= \frac{r^2 - 2r + 1}{(r-1)!} - \frac{r}{(r-1)!}$
$= \frac{r^2 - 2r + 1 - r}{(r-1)!}$
$= \frac{r^2 - 3r + 1}{(r-1)!} \quad \text{(Shown)}$

答案

$\frac{r^2 - 3r + 1}{(r-1)!}$ (Shown)

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已知 f(r)=r(r−1)!\mathrm{f}(r) = \frac{r}{(r-1)!}f(r)=(r−1)!r​，证明 f(r−1)−f(r)=r2−3r+1(r−1)!\mathrm{f}(r-1) - \mathrm{f}(r) = \frac{r^2 - 3r + 1}{(r-1)!}f(r−1)−f(r)=(r−1)!r2−3r+1​。

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已知 $\mathrm{f}(r) = \frac{r}{(r-1)!}$ ，证明 $\mathrm{f}(r-1) - \mathrm{f}(r) = \frac{r^2 - 3r + 1}{(r-1)!}$ 。