已知数列$\{x_{n}\}$和$\{y_{n}\}$的通项公式分别为$x_{n}=a^{n}$和$y_{n}=(a+1)n+b,n∈N^{+}$． (1)当$a=3$，$b=5$时， $①$试问：$x_{2}$，$x_{4}$分别是数列$\{y_{n}\}$中的第几项？ $②$记$c_{n}=x_{n}^{2}$，若$c_{k}$是$\{y_{n}\}$中的第$m$项$(k,m∈N^{+})$，试问：$c_{k+1}$是数列$\{y_{n}\}$中的第几项？请说明理由； (2)对给定自然数$a\geqslant 2$，试问是否存在$b∈\{1,2\}$，使得数列$\{x_{n}\}$和$\{y_{n}\}$有公共项？若存在，求出$b$的值及相应的公共项组成的数列$\{z_{n}\}$，若不存在，请说明理由．

1. 求出 $x_2$ 和 $x_4$ 的值

当 $a=3$，$b=5$ 时，$x_n = 3^n$，$y_n = 4n + 5$。
计算得：
$x_2 = 3^2 = 9$
$x_4 = 3^4 = 81$

2. 确定 $x_2$ 和 $x_4$ 在数列 $\{y_n\}$ 中的项数

设 $x_2 = y_{n_1}$，则：
$4n_1 + 5 = 9 \implies 4n_1 = 4 \implies n_1 = 1$
设 $x_4 = y_{n_2}$，则：
$4n_2 + 5 = 81 \implies 4n_2 = 76 \implies n_2 = 19$
故 $x_2$ 是数列 $\{y_n\}$ 中的第 $1$ 项，$x_4$ 是数列 $\{y_n\}$ 中的第 $19$ 项。

1. 表示 $c_n$ 及已知条件 $c_k = y_m$

由 $c_n = x_n^2 = (3^n)^2 = 9^n$，可得：
$c_k = 9^k$
因为 $c_k$ 是 $\{y_n\}$ 中的第 $m$ 项，所以：
$c_k = y_m \implies 9^k = 4m + 5$

2. 推导 $c_{k+1}$ 与 $y_n$ 项数的对应关系

计算 $c_{k+1}$：
$c_{k+1} = 9^{k+1} = 9 \cdot 9^k = 9(4m + 5) = 36m + 45$
设 $c_{k+1}$ 是数列 $\{y_n\}$ 中的第 $m'$ 项，则：
$y_{m'} = 4m' + 5 = 36m + 45$
解得：
$4m' = 36m + 40 \implies m' = 9m + 10$
因为 $m \in \mathbb{N}^+$，所以 $m' = 9m + 10 \in \mathbb{N}^+$ 且唯一确定。
故 $c_{k+1}$ 是数列 $\{y_n\}$ 中的第 $(9m+10)$ 项。

1. 建立公共项存在性的整除与同余条件

数列 $\{x_n\}$ 与 $\{y_n\}$ 有公共项，当且仅当存在正整数 $n, m$ 使得：
$a^n = (a+1)m + b \implies a^n - b = (a+1)m$
即 $a+1 \mid (a^n - b)$，即 $a^n \equiv b \pmod{a+1}$。
因为 $a \equiv -1 \pmod{a+1}$，所以 $a^n \equiv (-1)^n \pmod{a+1}$，即：
$(-1)^n \equiv b \pmod{a+1}$

2. 讨论 $b=1$ 时公共项的存在性与通项

当 $b = 1$ 时：
要使 $(-1)^n \equiv 1 \pmod{a+1}$，只需 $n$ 为偶数。
取 $n = 2k$ ($k \in \mathbb{N}^+$)，则：
$a^{2k} - 1 = (a+1)(a^{2k-1} - a^{2k-2} + \dots - 1)$
故 $m = \dfrac{a^{2k}-1}{a+1}$ 是正整数。
所以对任意 $a \geqslant 2$，$b = 1$ 时 $\{x_n\}$ 的所有偶数项 $x_{2k} = a^{2k}$ 均为 $\{y_n\}$ 中的项。
此时公共项数列为 $z_n = a^{2n}$ ($n \in \mathbb{N}^+$)。

3. 讨论 $b=2$ 时公共项的存在性与通项

当 $b = 2$ 时：
要使 $(-1)^n \equiv 2 \pmod{a+1}$：

• 若 $n$ 为偶数，则 $1 \equiv 2 \pmod{a+1} \implies a+1 \mid 1$，无解（因为 $a \geqslant 2 \implies a+1 \geqslant 3$）。
• 若 $n$ 为奇数，则 $-1 \equiv 2 \pmod{a+1} \implies 3 \equiv 0 \pmod{a+1} \implies a+1 \mid 3$。
  由于 $a \geqslant 2$，故只能 $a+1 = 3$，即 $a = 2$。
  因此：
• 当 $a > 2$ 时，$b = 2$ 时不存在公共项；
• 当 $a = 2$ 时，$b = 2$ 时 $y_m = 3m + 2$。要使 $2^n = 3m + 2$，只需 $n$ 为大于 $1$ 的奇数（当 $n=1$ 时 $m=0 \notin \mathbb{N}^+$）。
  令 $n = 2k+1$ ($k \in \mathbb{N}^+$)，则 $m = \dfrac{2^{2k+1}-2}{3} \in \mathbb{N}^+$。
  此时公共项数列为 $z_n = 2^{2n+1}$ ($n \in \mathbb{N}^+$)。